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近似概念

麦克劳林级数作为函数近似的概念：截取有限项后得到的多项式近似在 x=0x = 0 附近最为精确。

这个知识点的练习题

  1. 1将 2+x9−x\displaystyle\frac{2+x}{\sqrt{9-x}} 展开为 xx 的升幂级数，直到并包括 x2x^2 的项。 仅使用上述级数展开式的前两项，并代入 x=19x = \frac{1}{9}，求出 5\sqrt{5}…
  2. 2已知 1a+bx\dfrac{1}{a+bx} 展开式的前三项为 12+14x+cx2\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}x+cx^2，求 aa、bb 和 cc 的值。 利用第 (i) 小题的答案，求由曲线 y=1a+bxy = \dfrac{1}{a+bx}…
  3. 3已知 θ\theta 很小，证明 sec⁡θ≈1+12θ2\sec \theta \approx 1 + \tfrac{1}{2}\theta^2。 下图显示了一个圆心为 OO、半径为 rr 的圆，圆周上有点 AA 和 BB 使得 ∠AOB=θ\angle AOB = \theta…
  4. 4已知 y=sin⁡(ex−1)y = \sin\left(e^x - 1\right)。 证明 d2ydx2=dydx−ye2x\dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{dy}{dx} - ye^{2x}。 由此求出 yy 的麦克劳林级数展开式，保留至包含 x2x^2…
  5. 5已知 f(x)=14+9x2f(x)=\dfrac{1}{4+9x^2}。 求 ∫f(x) dx\displaystyle\int f(x)\,dx。 求 f(x)f(x) 的二项展开式，展开到包含 x4x^4 的项。以最简精确分数形式给出各项系数。 由此，求 tan⁡−13x2\tan^{-1}\dfrac{3x}{2}…
  6. 6证明 ∫nn+1ln⁡x dx=(n+1)ln⁡(n+1)−nln⁡n−1.\displaystyle\int_{n}^{n+1} \ln x\, dx = (n+1)\ln(n+1) - n\ln n - 1. (ii) 图中给出了 x=nx = n 与 x=n+1x = n+1 之间 y=ln⁡xy = \ln x…
  7. 7第一部分：纯粹数学 1 (a) 证明 11+x2−1−x2=12x2(1+x2+1−x2).\dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}}}=\dfrac{1}{2x^{2}}\big(\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1-x^{2}}\big).…
  8. 8已知 y=esin⁡−12xy= e^{\sin^{-1}2x}，证明 (1−4x2)d2ydx2=4y+4xdydx\left(1-4x^{2}\right)\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=4y+4x\dfrac{dy}{dx}。 已知 y=esin⁡−12xy= e^{\sin^{-1}2x}，证明…
  9. 9在顶点为 A、B 和 C 的三角形中，角 BACBAC 是直角，且角 ABC=π3−xABC=\frac{\pi}{3}-x。 证明 ABAC=1+3tan⁡x3−tan⁡x\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1+\sqrt{3}\tan x}{\sqrt{3}-\tan x}。…
  10. 10在三角形 ABCABC 中，已知 AB=2AB = 2，BC=3BC = \sqrt{3}，AC=xAC = x，角 ABC=π6+θABC = \frac{\pi}{6} + \theta 弧度（见图）。 证明 x2=7−6cos⁡θ+23sin⁡θx^{2} = 7 - 6\cos\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta…
  11. 11已知 f(x)=ln⁡(1+2x2)\mathrm{f}(x) = \ln(1 + 2x^2)。 多项式 p(x)=ax2+bx+cp(x) = ax^2 + bx + c 用于在 1≤x≤21 \le x \le 2 内近似 f(x)\mathrm{f}(x)。已知 p(1)=f(1)p(1) = \mathrm{f}(1)…
  12. 12已知 f(x)=ln⁡(a+x)f(x)=\ln(a+x)，x∈Rx\in\mathbb{R}，x>−ax>-a，其中 aa 是常数。 利用公式表（MF27）中的标准级数，求出 f(x)f(x) 展开到包含 x3x^{3} 项的级数展开式。 已知 a=1a=1。由此或用其…
  13. 13已知 f(x)=etan⁡−1x\text{f}(x) = \text{e}^{\tan^{-1} x}，其中 tan⁡−1x\tan^{-1} x 表示主值。 证明 (1+x2)f′(x)=f(x)(1 + x^2)\text{f}'(x) = \text{f}(x)。 通过对上述结果进行进一步求…
  14. 14TMJC JC1 Promo 9758/2019/Q6 已知 y=ln⁡(2−e2x)y = \ln\left(2 - e^{2x}\right)，其中 x<12ln⁡2x < \tfrac{1}{2}\ln 2，证明 ey[d2ydx2+(dydx)2]=−4e2x.e^y\left[\frac{d^2 y}{dx^2} + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right] = -4e^{2x}.…
  15. 15在三角形 ABCABC 中，AB=2AB = 2，BC=3BC = \sqrt{3}，AC=xAC = x 且角 ABC=π6+θABC = \frac{\pi}{6} + \theta（见图）。 证明 x2=7−6cos⁡θ+23sin⁡θx^{2} = 7 - 6\cos\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta…
  16. 16已知 f(x)=ln⁡(a+x)\mathrm{f}(x) = \ln(a + x)，x∈Rx \in \mathbb{R}，x>−ax > -a，其中 aa 是常数。 利用公式表 (MF27) 中的标准级数，求 f(x)\mathrm{f}(x) 直到包含 x3x^3…
  17. 17函数 h 的定义如下： h:x↦ln⁡(x−k+1), x∈R, x≥k,h : x \mapsto \ln(x - k + 1),\ x \in \mathbb{R},\ x \ge k, 其中 k<0k < 0。 求 kk 的值，使得 hghg 的值域为 (ln⁡5,∞)(\ln 5,\infty)…
  18. 18第一部分：纯粹数学 1 (a) 证明 11+x2−1−x2=12x2(1+x2+1−x2)\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{1}{2x^{2}}\left(\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1-x^{2}}\right)…
  19. 19已知 y=sin⁡−1xcos⁡−1xy = \sin^{-1} x \cos^{-1} x，其中 −1≤x≤1-1 \le x \le 1。 证明 1−x2dydx=cos⁡−1x−sin⁡−1x\sqrt{1-x^2} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \cos^{-1} x - \sin^{-1} x…
  20. 20将 1−x21+3x3\dfrac{1 - x^2}{\sqrt[3]{1 + 3x}} 展开为 xx 的升幂级数，展开到包含 x3x^3 项为止。 (ii) 写出该级数展开式成立的 xx 的取值集合。 (iii) 写出曲线 y=1−x21+3x3y = \dfrac{1 - x^2}{\sqrt[3]{1 + 3x}}…
  21. 21将 2+x9−x\dfrac{2+x}{\sqrt{9-x}} 展开为 xx 的升幂级数，直到并包括 x2x^2 项。 仅通过使用上述级数展开式的前两项并代入 x=19x = \dfrac{1}{9}，求出 5\sqrt{5} 的近似值，并表示为最…
  22. 22将 2+x9−x\dfrac{2+x}{\sqrt{9-x}} 展开为 xx 的升幂级数，直到包含 x2x^2 的项为止。 仅使用上述级数展开式的前两项并代入 x=19x=\tfrac{1}{9}，求出 5\sqrt{5} 的近似值，并将其表示为最…
  23. 23设 y=tan⁡(2tan⁡−1x+π4)y = \tan\left(2\tan^{-1}x + \frac{\pi}{4}\right)。 证明 (1+x2)dydx=2(1+y2)(1+x^2)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 2(1+y^2)。 由此求 yy 的麦…
  24. 24已知 y=ln⁡(cos⁡ax−sin⁡ax)y = \ln(\cos ax - \sin ax)，其中 aa 是一个非零常数。 证明 d2ydx2+(dydx)2+a2=0.\frac{d^2 y}{dx^2} + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + a^2 = 0. 通过对…
  25. 25已知 y=ecos⁡−1xy = \mathrm{e}^{\cos^{-1} x}。 证明 (1−x2)d2ydx2−xdydx=y(1 - x^2)\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} - x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = y…
  26. 26利用二项式级数将 1+x1−x\sqrt{\dfrac{1 + x}{1 - x}} 展开为 xx 的升幂级数，展开到包含 x2x^2 项为止，其中 ∣x∣<1|x| < 1。 通过在结果中代入 x=110x = \tfrac{1}{10}，证明 11≈663200\sqrt{11} \approx \dfrac{663}{200}…
  27. 27在本题中，你可以使用公式表（MF27）中的展开式。 求 ln⁡(1+cos⁡3x)\ln(1 + \cos 3x) 按 xx 的升幂排列的麦克劳林展开式，直至并包括 x4x^4 项，其中 0≤x<π30 \le x < \frac{\pi}{3}。 利用第 **(i)…
  28. 28数列 xnx_{n} 满足关系式 xn+1=13(2xn+1xn2),n∈N+∪{0},0<x0<1.x_{n+1}=\tfrac{1}{3}\left(2x_{n}+\dfrac{1}{x_{n}^{2}}\right),\quad n\in\mathbb{N}^{+}\cup\{0\},\quad 0<x_{0}<1.…
  29. 29已知 y=ln⁡(cos⁡ax−sin⁡ax)y = \ln(\cos ax - \sin ax)，其中 aa 是一个非零常数。 证明：d2ydx2+(dydx)2+a2=0\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2 + a^2 = 0…
  30. 30已知 y=ecos⁡−1xy = e^{\cos^{-1} x}。 证明 (1−x2)d2ydx2−xdydx=y(1 - x^2)\dfrac{d^2 y}{dx^2} - x\dfrac{dy}{dx} = y。 求 yy 的带有精确系数的麦克劳林级数，直到并包括 x3x^3 的项。…
  31. 31利用公式表（MF26）中的标准级数，将 ln⁡(k+2x)n\ln(k + 2x)^n 按 xx 的升幂展开，直到 x3x^3 项，其中 kk 和 nn 为实常数，k>0k > 0，n<0n < 0 且 x>−k2x > -\frac{k}{2}。 写出第 *…
  32. 32在以 AA、BB 和 CC 为顶点的三角形中，角 BACBAC 是直角，且角 ABC=π3−xABC = \frac{\pi}{3} - x。 证明 ABAC=1+3tan⁡x3−tan⁡x.\frac{AB}{AC} = \frac{1+\sqrt{3}\tan x}{\sqrt{3}-\tan x}.…
  33. 33三角形 ABCABC 满足 AB=3AB = 3，AC=4AC = 4 且角 BAC=θBAC = \theta 弧度。 三角形 ABCABC 满足 AB=3AB = 3，AC=4AC = 4 且角 BAC=θBAC = \theta 弧度。 已知 θ\theta 足够…
  34. 34使用常用级数，求 11−a2x2\dfrac{1}{\sqrt{1 - a^2 x^2}} 的麦克劳林级数展开式，展开到包含 x4x^4 的项为止，其中 aa 是正常数。并求出使该展开式成立的 xx 的取值范围（用 aa 表示）。 使用常用级数…
  35. 35求 exsin⁡(x+π)e^{x}\sin(x+\pi) 的麦克劳林级数的前三个非零项。 已知对于微小的 xx，在 (a) 部分中求得的三个项等于 ax(1+bx)ca x (1 + b x)^{c} 的级数展开式的前三个项，其中 aa、bb 和 cc 是常数。…
  36. 36已知 y=12ln⁡(1+tan⁡x)y = \tfrac{1}{2}\ln\left(1 + \tan x\right)，证明 2e2ydydx=sec⁡2x.2e^{2y}\dfrac{dy}{dx} = \sec^2 x. 由此写出 yy 的麦克劳林级数的前两个非零项。 已知 yy…
  37. 37在本题中，你可以使用公式表（MF26）中的展开式。 已知 f(x)=esin⁡3x\mathrm{f}(x) = \mathrm{e}^{\sin 3x}，求出 f(x)\mathrm{f}(x) 按 xx 的升幂排列的麦克劳林级数展开式，直到包含 x2x^2…
  38. 38已知 y=cot⁡(x+a)y = \cot(x + a)，其中 aa 为常数。 证明 dydx=−(1+y2)\dfrac{dy}{dx} = -\bigl(1 + y^2\bigr)，并由此求出用 yy 表示的 d2ydx2\dfrac{d^2y}{dx^2} 和 d3ydx3\dfrac{d^3y}{dx^3}…
  39. 39已知 y=13+sin⁡2xy = \dfrac{1}{3 + \sin 2x}。 证明 d2ydx2−4y2sin⁡2x+4ydydxcos⁡2x=0\dfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} - 4y^2 \sin 2x + 4y\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \cos 2x = 0…
  40. 40已知 1a+bx\dfrac{1}{a+bx} 展开式的前三项为 12+14x+cx2\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}x+cx^2，求 aa、bb 和 cc 的值。 利用第 (i) 部分的答案，求由曲线 y=1a+bxy=\dfrac{1}{a+bx}…
  41. 41已知 y=(cos⁡−1x)2y=(\cos^{-1} x)^2。 证明 (1−x2)d2ydx2−xdydx=2(1-x^2)\dfrac{d^2y}{dx^2}-x\dfrac{dy}{dx}=2。 由此求 (cos⁡−1x)2(\cos^{-1} x)^2 的麦克劳林级数，展开到包含 x3x^3 的项为止…
  42. 42已知 y=ecos⁡−1xy = e^{\cos^{-1} x}。 证明 (1−x2)d2ydx2−xdydx=y\left(1 - x^2\right)\dfrac{d^2 y}{dx^2} - x\dfrac{dy}{dx} = y。 求 yy 的麦克劳林级数，给出准确系数，展开至包含…