一长方体的底面积为 $(4 + 2\sqrt{5})\text{ cm}^2$，体积为 $(9 + 5\sqrt{5})\text{ cm}^3$。 在不使用计算器的情况下，求该长方体的高度（以 cm 为单位），并将你的答案写成 $\frac{1}{2}(a + b\sqrt{5})$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 为整数。

1. Set up the expression for the height of the cuboid

$\text{Height} = \frac{\text{Volume}}{\text{Base Area}} = \frac{9 + 5\sqrt{5}}{4 + 2\sqrt{5}}$

2. Rationalise the denominator by multiplying by the conjugate

$\text{Height} = \frac{9 + 5\sqrt{5}}{4 + 2\sqrt{5}} \times \frac{4 - 2\sqrt{5}}{4 - 2\sqrt{5}}$

3. Expand and simplify the numerator and denominator

$\text{Numerator} = (9)(4) + (9)(-2\sqrt{5}) + (5\sqrt{5})(4) + (5\sqrt{5})(-2\sqrt{5})$
$= 36 - 18\sqrt{5} + 20\sqrt{5} - 50$
$= -14 + 2\sqrt{5}$

$\text{Denominator} = 4^2 - (2\sqrt{5})^2$
$= 16 - 20$
$= -4$

4. Simplify the fraction to the required form

$\text{Height} = \frac{-14 + 2\sqrt{5}}{-4}$
$= \frac{-2(7 - \sqrt{5})}{-4}$
$= \frac{7 - \sqrt{5}}{2}$
$= \frac{1}{2}(7 - \sqrt{5})$