一个直圆柱的体积为 $(6 + 2\sqrt{3})\pi\text{ cm}^3$，底面半径为 $(1 + \sqrt{3})\text{ cm}$。 求在不使用计算器的前提下，求该圆柱的高（以 $\text{cm}$ 为单位），并写成 $(a + b\sqrt{3})$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 是整数。

1. Set up the equation for the volume of the cylinder

Let the height of the cylinder be $h$.
Volume $V = \pi r^2 h$
$(6 + 2\sqrt{3})\pi = \pi (1 + \sqrt{3})^2 h$

2. Expand the square of the radius and simplify the equation

$(6 + 2\sqrt{3}) = (1 + 2\sqrt{3} + 3) h$
$6 + 2\sqrt{3} = (4 + 2\sqrt{3}) h$
$h = \frac{6 + 2\sqrt{3}}{4 + 2\sqrt{3}}$
$h = \frac{3 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$

3. Rationalise the denominator to find the height in the required form

$h = \frac{3 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \times \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$
$h = \frac{6 - 3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 3}{4 - 3}$
$h = \frac{3 - \sqrt{3}}{1}$
$h = 3 - \sqrt{3}$