定义：若一个多位数的各位数字由两个不同的数字交替出现组成，则称这个数为“交替数”。例如 $2020$ 和 $37373$ 是交替数，而 $3883$ 不是。现有一个五位交替数 $ABABA$（其中 $A$ 和 $B$ 是互不相同的单数字，且 $A \neq 0$）。若这个五位数能同时被 $3$ 和 $5$ 整除，请求出所有满足条件的五位数，并写出推理过程。

1. 根据 5 的整除特征确定数字 $A$ 的值

因为五位数 $ABABA$ 能被 $5$ 整除，所以它的个位数字 $A$ 必须是 $0$ 或 $5$。
又因为 $A$ 作为首位数字不能为 $0$，所以 $A = 5$。

2. 根据 3 的整除特征求出数字 $B$ 的可能取值

五位数 $ABABA$ 各个数位上的数字之和为：
$A + B + A + B + A = 3A + 2B$
将 $A = 5$ 代入，得数字之和为：
$3 \times 5 + 2B = 15 + 2B$
因为该数能被 $3$ 整除，所以数字之和 $15 + 2B$ 必须是 $3$ 的倍数。
由于 $15$ 本身是 $3$ 的倍数，因此 $2B$ 必须是 $3$ 的倍数，即 $B$ 必须是 $3$ 的倍数。
$B$ 为单数字（$0 \le B \le 9$），故 $B$ 的可能取值为 $0, 3, 6, 9$。
验证交替数条件 $A eq B$：由于 $A = 5$，而 $B \in \{0, 3, 6, 9\}$ 中均不等于 $5$，因此四个值均符合条件。

3. 列出所有满足条件的五位数

将 $A = 5$ 以及 $B$ 的可能取值分别代入 $ABABA$，得到：

• 当 $B = 0$ 时，该数为 $50505$；
• 当 $B = 3$ 时，该数为 $53535$；
• 当 $B = 6$ 时，该数为 $56565$；
• 当 $B = 9$ 时，该数为 $59595$。

综上所述，满足条件的五位数共有 4 个：$50505$、$53535$、$56565$、$59595$。