函数 $f$ 定义为：
$f(x) = 4 - \frac{9}{x^2}, \quad x \in (-\infty, -1).$
(1) 求反函数 $f^{-1}(x)$ 及其定义域；
(2) 通过考虑 $f(f^{-1}(x))$ 与 $f^{-1}(f(x))$ 的定义域，求使得 $f(f^{-1}(x)) = f^{-1}(f(x))$ 成立的 $x$ 的取值范围。

1. 求原函数的值域以确定反函数的定义域

已知 $f(x) = 4 - \frac{9}{x^2}$，其定义域为 $x \in (-\infty, -1)$。
当 $x < -1$ 时，$x^2 > 1$，则 $0 < \frac{9}{x^2} < 9$。
因此，$-5 < 4 - \frac{9}{x^2} < 4$，即原函数 $f$ 的值域为 $(-5, 4)$。
由反函数的性质可知，反函数 $f^{-1}$ 的定义域为 $(-5, 4)$（或 $-5 < x < 4$）。

2. 反解自变量并写出反函数的解析式

设 $y = 4 - \frac{9}{x^2}$，其中 $y \in (-5, 4)$。
整理得：
$\frac{9}{x^2} = 4 - y \implies x^2 = \frac{9}{4 - y}$
因为 $x \in (-\infty, -1)$，所以 $x < 0$，取负平方根：
$x = -\sqrt{\frac{9}{4 - y}} = -\frac{3}{\sqrt{4 - y}}$
将自变量与因变量互换，可得：
$f^{-1}(x) = -\frac{3}{\sqrt{4 - x}}$

1. 确定复合函数 $f(f^{-1}(x))$ 和 $f^{-1}(f(x))$ 的定义域

对于复合函数 $f(f^{-1}(x))$：
$x$ 必须在 $f^{-1}$ 的定义域内，即 $x \in (-5, 4)$。
对于任意 $x \in (-5, 4)$，$f^{-1}(x) \in (-\infty, -1)$ 均在 $f$ 的定义域内，且恒有 $f(f^{-1}(x)) = x$。
故 $f(f^{-1}(x))$ 的定义域为 $(-5, 4)$。

对于复合函数 $f^{-1}(f(x))$：
$x$ 必须在 $f$ 的定义域内，即 $x \in (-\infty, -1)$。
对于任意 $x \in (-\infty, -1)$，$f(x) \in (-5, 4)$ 均在 $f^{-1}$ 的定义域内，且恒有 $f^{-1}(f(x)) = x$。
故 $f^{-1}(f(x))$ 的定义域为 $(-\infty, -1)$。

2. 求使得两式相等的 $x$ 的取值范围

当两函数均有定义时，均有 $f(f^{-1}(x)) = x$ 且 $f^{-1}(f(x)) = x$。
因此，使等式 $f(f^{-1}(x)) = f^{-1}(f(x))$ 成立的充分必要条件是 $x$ 同时属于两个复合函数的定义域，即：
$x \in (-5, 4) \cap (-\infty, -1) = (-5, -1)$
所以 $x$ 的取值范围为 $(-5, -1)$（或 $-5 < x < -1$）。