求 $2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 + \cdots + 20^2 + 22^2$ 的值．

1. 提取公因数，将偶数平方和转化为标准连续自然数平方和的形式

原式中的每一项都可以表示为 $(2k)^2 = 4k^2$：
$2^2 + 4^2 + 6^2 + \dots + 22^2 = (2 \times 1)^2 + (2 \times 2)^2 + (2 \times 3)^2 + \dots + (2 \times 11)^2$
$= 2^2 \times (1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 11^2) = 4 \times (1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 11^2)$

2. 运用前 $n$ 项平方和公式求 $1^2 + 2^2 + \dots + 11^2$ 的值

根据前 $n$ 个正整数的平方和公式 $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$，当 $n = 11$ 时：
$1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 11^2 = \frac{11 \times (11 + 1) \times (2 \times 11 + 1)}{6}$
$= \frac{11 \times 12 \times 23}{6} = 11 \times 2 \times 23 = 506$

3. 计算最终结果

将求得的平方和代回原式：
$4 \times 506 = 2024$