一个边长$10$厘米的正方形，相邻的两边中，一边增加$2$厘米，另一边减少$2$厘米，那么它的周长和面积的变化情况是$(\quad)$

A. 周长和面积都不变

B. 周长增加，面积相等

C. 周长不变，面积缩小

D. 周长缩短，面积相等

1. 计算原正方形的周长和面积

已知原正方形的边长为 $10$ 厘米。
根据正方形的周长公式 $C = 4a$：
$C_1 = 10 \times 4 = 40\text{（厘米）}$
根据正方形的面积公式 $S = a^2$：
$S_1 = 10 \times 10 = 100\text{（平方厘米）}$

2. 计算改变后长方形的周长和面积

改变后，相邻两边中：
一边增加 $2$ 厘米，长度变为：$10 + 2 = 12\text{（厘米）}$；
另一边减少 $2$ 厘米，长度变为：$10 - 2 = 8\text{（厘米）}$。
改变后的图形为长方形，长为 $12$ 厘米，宽为 $8$ 厘米。
根据长方形的周长公式 $C = 2(a + b)$：
$C_2 = (12 + 8) \times 2 = 40\text{（厘米）}$
根据长方形的面积公式 $S = ab$：
$S_2 = 12 \times 8 = 96\text{（平方厘米）}$

3. 对比并得出结论

比较改变前后的周长与面积：
周长：$C_1 = C_2 = 40$ 厘米，周长不变；
面积：$S_1 = 100$ 平方厘米，$S_2 = 96$ 平方厘米，由于 $96 < 100$，面积缩小。
因此，它的周长不变，面积缩小。
选项 C 正确。