若五个正整数的中位数是3，唯一的众数是7，则这五个数的平均数是 ___ ．

1. 根据中位数的定义确定第三个数的值

设这五个正整数从小到大排列为 $a_1 \le a_2 \le a_3 \le a_4 \le a_5$．
根据中位数的定义，这五个数的中位数是中间的第三个数，即 $a_3 = 3$．

2. 根据众数确定后两个数的值

由于这五个数唯一的众数是 $7$，且 $7 > 3$，因此 $7$ 只能位于中位数的右边，且出现的次数至少为 $2$ 次．
故后两个数必须是 $7$，即 $a_4 = 7$，$a_5 = 7$．

3. 根据正整数和唯一众数约束确定前两个数的值

因为唯一的众数是 $7$（已出现 $2$ 次），其他任何数字出现的次数不能超过 $1$ 次，所以前两个数 $a_1$ 和 $a_2$ 互不相同，且满足 $a_1 < a_2 < 3$．
又由于这五个数都是正整数，满足条件的只有 $a_1 = 1$，$a_2 = 2$．

4. 计算这五个数的平均数

这五个正整数为 $1, 2, 3, 7, 7$．
其平均数为：
$\bar{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 7 + 7}{5} = \frac{20}{5} = 4$．