在空间直角坐标系 $O-xyz$ 中，已知点 $M(a, b, c)$ 满足 $a+b+c = 6$。若点 $M$ 到 $xOy$ 平面、$yOz$ 平面、$zOx$ 平面的距离均相等，且 $a, b, c$ 均为正实数，求点 $M$ 的坐标及其到原点 $O$ 的距离。

1. 根据点到各坐标平面的距离相等及正实数条件，求出点 $M$ 的坐标

在空间直角坐标系中，点 $M(a, b, c)$ 到 $xOy$ 平面、$yOz$ 平面、$zOx$ 平面的距离分别为 $|c|$, $|a|$, $|b|$。
因为 $a, b, c$ 均为正实数，所以这些距离分别为 $c, a, b$。
根据题意，点 $M$ 到三个坐标平面的距离均相等，因此 $a = b = c$。
又已知 $a + b + c = 6$，代入得：
$3a = 6 \implies a = 2$
故 $a = b = c = 2$，点 $M$ 的坐标为 $(2, 2, 2)$。

2. 计算点 $M$ 到原点 $O$ 的距离

利用空间两点间的距离公式，求点 $M(2, 2, 2)$ 到原点 $O(0, 0, 0)$ 的距离：
$OM = \sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$