空间直角坐标系

引入：从“地面”到“空间”的维度跃迁

在过去，我们用平面直角坐标系（二维 $xOy$ 平台）来锁定地面上某点的坐标。但如果我们要确定一架无人机在空中的位置呢？

仅有经纬度（平面坐标）是不够的，我们还需要知道它的高度。

• 平面（二维）：确定点 $P(x, y)$ 需要 $2$ 个独立的数据。
• 空间（三维）：确定点 $P(x, y, z)$ 需要 $3$ 个独立的数据。

从平面到空间，我们需要引入第三条轴——$z$ 轴（竖轴），从而完成从二维到三维的“维度跃迁”。

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空间直角坐标系的构建

在空间中，我们任取一个点 $O$ 作为原点，画三条两两互相垂直的数轴：

• $x$ 轴（横轴）：指向斜下方（屏幕外）
• $y$ 轴（纵轴）：指向右侧
• $z$ 轴（竖轴）：指向上方

这三条轴把空间分成了不同的区域，它们两两确定了三个坐标平面：$xOy$ 面（地面）、$yOz$ 面（侧墙面）和 $xOz$ 面（正墙面）。

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核心规则：右手直角坐标系

为了让全世界的数学和物理计算保持一致，我们采用右手直角坐标系（Right-handed Coordinate System）来规定三条轴的正方向：

• 大拇指指向 $x$ 轴的正方向。
• 食指指向 $y$ 轴的正方向。
• 中指弯曲，指向 $z$ 轴的正方向。

只要你的右手能够同时做出这三个互相垂直的方向，它们对应的就是标准的空间直角坐标系。

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空间中点的坐标表示

在空间直角坐标系中，任意一点 $P$ 的位置都可以用一个有序实数组 $(x, y, z)$ 来唯一表示。

如何确定点 $P(x, y, z)$ 的坐标值？

1. 过点 $P$ 分别作三个坐标平面的平行面（或垂线）。
2. 这些面（或垂线）交 $x$ 轴于 $x_0$，交 $y$ 轴于 $y_0$，交 $z$ 轴于 $z_0$。
3. 数对 $(x_0, y_0, z_0)$ 即为点 $P$ 的坐标。

在长方体中，我们可以直观地看到这种投影关系：

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例题精讲

【例题】 在空间直角坐标系中，已知一个棱长为 $2$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$。若以底面正方形 $ABCD$ 的中心 $O$ 为坐标原点，$z$ 轴指向顶底面方向（向上为正），$x$ 轴平行于边 $AB$，$y$ 轴平行于边 $BC$。求正方体顶点 $A_1$ 的坐标。

【分步解析】

1. 分析原点与底面：底面 $ABCD$ 在平面 $xOy$ 上，其中心为原点 $O(0,0,0)$。
2. 计算 $x, y$ 坐标：
   因为棱长为 $2$，中心到各边的距离为 $1$。
   顶点 $A$ 位于第三象限对应的投影位置，其 $x$ 坐标为 $-1$，$y$ 坐标为 $-1$。
3. 计算 $z$ 坐标：
   $A_1$ 是顶面的顶点。从底面 $ABCD$ 到顶面 $A_1B_1C_1D_1$ 的高度为棱长 $2$。
   因为 $A_1$ 在底面上方，所以其 $z$ 坐标为 $1$（中心到顶面的距离为高的一半，即 $1$）。
4. 得出结论：
   顶点 $A_1$ 的坐标为 $(-1, -1, 1)$。

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随堂练习

请根据本节所学，尝试解答以下两个问题：

练习 1：在空间直角坐标系中，点 $M(3, -4, 5)$ 到 $xOy$ 平面的距离是多少？它到 $z$ 轴的距离又是多少？

练习 2：若点 $P(a, b, c)$ 关于 $xOz$ 平面对称的点为 $Q$，写出点 $Q$ 的坐标。

(提示：关于某个面对称，则在该面上的分量保持不变，垂直于该面的分量变为相反数。)