将 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ 6 个数字分成两组，每组 3 个数字。若其中一组三个数字的乘积是另一组三个数字乘积的倍数，那么共有 ___ 种不同的分法。

1. 计算 6 个数字的总乘积并分析整除条件

所有 6 个数字的乘积为：
$P = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 = 720 = 2^4 \times 3^2 \times 5$
设两组数字的乘积分别为 $P_1$ 和 $P_2$（不妨设 $P_1 \ge P_2$），则：
$P_1 \times P_2 = 720$
由题意，$P_1$ 是 $P_2$ 的整数倍，即存在正整数 $k$ 使得 $P_1 = k \cdot P_2$。
代入得：
$k \cdot P_2^2 = 720 \implies P_2^2 \mid 720$

2. 由质因数幂次约束确定较小乘积的取值范围

因为 $720$ 的质因数分解中质数 $5$ 的最高次数仅为 $1$：
若 $5$ 属于较小组，则 $5 \mid P_2$，进而 $25 \mid P_2^2$，但 $25 \nmid 720$，矛盾。
因此数字 $5$ 必在乘积较大的一组中，较小组不能含有数字 $5$。

由于 $P_2^2 \mid (2^4 \times 3^2 \times 5)$，且 $5 \nmid P_2$，故 $P_2$ 中：

• 质因数 $2$ 的指数至多为 $4 \div 2 = 2$
• 质因数 $3$ 的指数至多为 $2 \div 2 = 1$

因此，$P_2$ 必须能整除 $2^2 \times 3^1 = 12$。

3. 枚举不含 5 的三数组合并检验

较小组由集合 $\{1, 2, 3, 4, 6\}$ 中选出 3 个互不相同的数字构成，其乘积需满足 $P_2 \mid 12$：

1. 选 $\{1, 2, 3\}$：乘积为 $1 \times 2 \times 3 = 6$，$6 \mid 12$，满足。对应另一组为 $\{4, 5, 6\}$（乘积 $120 = 6 \times 20$）；
2. 选 $\{1, 2, 4\}$：乘积为 $8$，$8 \nmid 12$，不合题意；
3. 选 $\{1, 2, 6\}$：乘积为 $12$，$12 \mid 12$，满足。对应另一组为 $\{3, 4, 5\}$（乘积 $60 = 12 \times 5$）；
4. 选 $\{1, 3, 4\}$：乘积为 $12$，$12 \mid 12$，满足。对应另一组为 $\{2, 5, 6\}$（乘积 $60 = 12 \times 5$）；
5. 其他任何 3 个数的组合乘积均大于 $12$（例如 $\{1, 3, 6\}$ 乘积为 $18$，$\{2, 3, 4\}$ 乘积为 $24$ 等），均不能整除 $12$。

综上，共有 $3$ 种不同的分法。