设$x^{3}+ax+b=0$，其中$a$，$b$均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的有___$.($填写序号$)①a=0$，$b=2$；$②a=3$，$b=2$；$③a=-3$，$b=-3$；$④a=-3$，$b=2$；$⑤a=-3$，$b > 2$．

1. 将方程根的问题转化为函数零点问题，并求出导数

令函数 $f(x) = x^3 + ax + b$，则方程 $x^3 + ax + b = 0$ 的实根个数即为函数 $f(x)$ 的零点个数．
对其求导得：$f'(x) = 3x^2 + a$．

2. 分析 $a \ge 0$ 时（即①②）的零点个数

对于① $a=0, b=2$ 与② $a=3, b=2$，此时 $a \ge 0$．
当 $a=0$ 时，$f'(x) = 3x^2 \ge 0$，当且仅当 $x=0$ 时 $f'(x)=0$；
当 $a=3$ 时，$f'(x) = 3x^2 + 3 > 0$ 恒成立．
因此，当 $a \ge 0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，故函数 $f(x)$ 与 $x$ 轴仅有一个交点，方程仅有一个实根．
所以①②均符合题意．

3. 分析 $a < 0$ 时（即③④⑤，其中 $a=-3$）的单调性与极值点

对于③④⑤，均有 $a = -3$，此时 $f(x) = x^3 - 3x + b$，$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x+1)(x-1)$．
令 $f'(x) = 0$ 解得 $x = -1$ 或 $x = 1$．
当 $x \in (-\infty, -1)$ 时，$f'(x) > 0$，$f(x)$ 单调递增；
当 $x \in (-1, 1)$ 时，$f'(x) < 0$，$f(x)$ 单调递减；
当 $x \in (1, +\infty)$ 时，$f'(x) > 0$，$f(x)$ 单调递增．
故 $f(x)$ 在 $x = -1$ 处取得极大值 $f(-1) = 2 + b$，在 $x = 1$ 处取得极小值 $f(1) = -2 + b$．

4. 讨论 $a=-3$ 时，不同 $b$ 值下零点的个数，并验证③④⑤

根据三次函数图象特征，若函数 $f(x)$ 仅有一个零点，则需极大值与极小值同号，即 $f(-1) < 0$ 或 $f(1) > 0$．

• 对于③ $a=-3, b=-3$：极大值 $f(-1) = 2 - 3 = -1 < 0$，极大值小于零，说明所有极值均小于零，此时函数仅有一个实根，故③符合题意．
• 对于④ $a=-3, b=2$：极小值 $f(1) = -2 + 2 = 0$，此时函数在 $x=1$ 处与 $x$ 轴相切，共有两个不同的实根（其中一个为二重根），故④不符合题意．
• 对于⑤ $a=-3, b > 2$：极小值 $f(1) = b - 2 > 0$，极小值大于零，说明所有极值均大于零，此时函数仅有一个实根，故⑤符合题意．

5. 综合得出最终结论

综上所述，使得该三次方程仅有一个实根的条件序号有 ①②③⑤．