请在□中填入适当的数，使算式成立． 2001×□□□□=2□0□0□1．

1. 设未知四位数并由个位数字确定末位

设四个□组成的四位数为 $N = \overline{ABCD}$（其中 $A, B, C, D$ 为 $0 \sim 9$ 的数字，且 $A \neq 0$）。
由于 $2001 \times \overline{ABCD}$ 的个位数字为 $1$，而 $2001$ 的个位数字为 $1$，根据个位数相乘规则，必有 $1 \times D$ 的个位数为 $1$，因此 $D = 1$。
故该四位数为 $N = \overline{ABC1}$。

2. 展开算式并分析百位数字确定 B

将乘法算式拆开分析：
$2001 \times \overline{ABC1} = 2000 \times \overline{ABC1} + \overline{ABC1}$
其中 $2000 \times \overline{ABC1} = \overline{ABC1} \times 2 \times 1000$，其百位及以下的数字均为 $0$。
因此，$2001 \times \overline{ABC1}$ 的百位数字完全由 $\overline{ABC1}$ 的百位数字 $B$ 决定。
题目已知积的百位数字为 $0$，故 $B = 0$。
此时四位数为 $N = \overline{A0C1}$。

3. 分析最高位与千位数字确定 A

将 $N = \overline{A0C1} = 1000A + 10C + 1$ 代入算式展开：
$2001 \times (1000A + 10C + 1) = 2001000A + 20010C + 2001$
$= 2000000A + 20000C + 1000(A + 2) + 100C + 1$
观察百万位数字：积的首位为 $2$，而 $A \ge 1$，故 $2A = 2$，解得 $A = 1$。
此时千位数字为 $A + 2 = 1 + 2 = 3$（且无向万位的进位）。

4. 分析万位数字确定 C 的可能取值并检验

观察万位数字：万位由 $2C$ 的个位数决定。题目已知积的万位数字为 $0$，因此 $2C$ 的个位数为 $0$。
由于 $C$ 为 $0 \sim 9$ 的整数，可得 $C = 0$ 或 $C = 5$。

1. 当 $C = 0$ 时，四位数为 $1001$：
   $2001 \times 1001 = 2003001$
   对应填空为：$2001 \times 1001 = 2003001$，符合 $2\square0\square0\square1$ 的形式（□内依次填入 $0, 3, 0$）。

2. 当 $C = 5$ 时，四位数为 $1051$：
   $2001 \times 1051 = 2103051$
   对应填空为：$2001 \times 1051 = 2103051$，符合 $2\square0\square0\square1$ 的形式（□内依次填入 $1, 3, 5$）。