中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①$20$是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若$c^{2}$为“整弦数”，则$c$不可能为正整数；④若$m=a_{1}^{2}+b_{1}^{2}$，$n=a_{2}^{2}+b_{2}^{2}$，$\dfrac{a_{1}}{b_{1}}≠\dfrac{a_{2}}{b_{2}}$，且$m$，$n$，$a_{1}$，$a_{2}$，$b_{1}$，$b_{2}$均为正整数，则$m$与$n$之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数$($除$1$外$)$的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为$(\quad)$

A. $1$个

B. $2$个

C. $3$个

D. $4$个

1. 分析“整弦数”的定义并检验结论①和②

根据定义，若一个数能表示为两个正整数的平方和，则该数为“整弦数”。
对于①：由于 $20 = 4^2 + 2^2$，且 $4, 2$ 均为正整数，所以 $20$ 是“整弦数”，结论①正确。
对于②：取反例，设 $m = 1^2 + 1^2 = 2$（是整弦数），$n = 1^2 + 1^2 = 2$（是整弦数），则 $m + n = 4$。因为 $4$ 无法表示为两个正整数的平方和（只能表示为 $2^2 + 0^2$，但 $0$ 不是正整数），所以 $4$ 不是“整弦数”，结论②错误。

2. 检验结论③

对于③：取 $c = 5$（正整数），则 $c^2 = 25$。因为 $25 = 3^2 + 4^2$，其中 $3, 4$ 为正整数，所以 $25$ 是“整弦数”。此时 $c = 5$ 为正整数，故“$c$ 不可能为正整数”的说法错误，结论③错误。

3. 利用代数恒等式检验结论④

对于④：根据婆罗摩笈多-斐波那契恒等式，有
$m \cdot n = (a_1^2 + b_1^2)(a_2^2 + b_2^2) = (a_1 a_2 + b_1 b_2)^2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1)^2$
因为 $a_1, a_2, b_1, b_2$ 均为正整数，所以 $a_1 a_2 + b_1 b_2$ 是正整数。
又因为 $\dfrac{a_1}{b_1} \neq \dfrac{a_2}{b_2}$，即 $a_1 b_2 \neq a_2 b_1$，所以 $|a_1 b_2 - a_2 b_1| \geqslant 1$，也是正整数。
因此 $m \cdot n$ 可以表示为两个正整数的平方和，即 $m \cdot n$ 为“整弦数”，结论④正确。

4. 建立代数模型检验结论⑤并得出最终答案

对于⑤：设该正奇数为 $k$ ($k > 1$)，两个连续正整数为 $n$ 和 $n+1$。
按题意，有 $k^2 = n + (n + 1) = 2n + 1$，解得 $n = \dfrac{k^2 - 1}{2}$。
代入计算 $k^2 + n^2$：
$k^2 + n^2 = (2n + 1) + n^2 = n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2$
即 $k^2 + n^2 = (n + 1)^2$。因为 $k, n, n+1$ 均为正整数，满足勾股定理，所以 $k, n, n+1$ 是一组“勾股数”，结论⑤正确。

综上所述，正确的结论有①④⑤，共 3 个，选 C。