解不定方程: $2x + 9y = 40$. （其中 $x$、$y$ 均为正整数）

1. 分析方程约束，确定未知数 $y$ 的取值范围与奇偶性

将方程变形为：$2x = 40 - 9y$。
因为 $x$ 是正整数，所以 $x \ge 1$，从而：
$40 - 9y > 0 \implies 9y < 40 \implies y \le 4$
又因为 $2x$ 和 $40$ 都是偶数，所以 $9y$ 也必须是偶数，故 $y$ 必须为偶数。
结合 $y$ 为正整数，可知 $y$ 的可能取值只能为 $2$ 或 $4$。

2. 逐一代入 $y$ 的可能值求出对应的正整数 $x$

① 当 $y = 2$ 时：
$2x = 40 - 9 \times 2 = 22 \implies x = 11$
② 当 $y = 4$ 时：
$2x = 40 - 9 \times 4 = 4 \implies x = 2$

所以该不定方程的正整数解共有两组：
$\begin{cases} x = 11 \\ y = 2 \end{cases} \quad \text{与} \quad \begin{cases} x = 2 \\ y = 4 \end{cases}$