将数字2至9填入8个圆圈中，使得每一行和每一列中的数字总和相等。将4个阴影圆圈中的数字相加。这4个数字之和的最大可能值是 ___。

1. 建立每行每列和与阴影圆圈数字之和的关系

设 4 个阴影圆圈中的数字分别为 $A, B, C, D$，4 个白色圆圈中的数字分别为 $W_1, W_2, W_3, W_4$。
每一行和每一列均由 2 个阴影圆圈与 1 个白色圆圈组成：

• 第一行：$W_1 + A + B = S$
• 第二行：$C + D + W_3 = S$
• 第一列：$A + C + W_4 = S$
• 第二列：$W_2 + B + D = S$

将这 2 行 2 列的数字之和全部相加，得：
$4S = (W_1 + W_2 + W_3 + W_4) + 2(A + B + C + D)$
由于这 8 个圆圈填入的是数字 2 至 9，所有 8 个数字的总和为：
$2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 44$
设 4 个阴影圆圈中数字之和为 $T = A + B + C + D$，则：
$4S = 44 + T \implies T = 4(S - 11)$
因此，$T$ 必须是 4 的倍数。

2. 确定 $T$ 的理论最大值并构造可行解

从数字 2 至 9 中选出 4 个数字，其可能的最大和为：
$9 + 8 + 7 + 6 = 30$
因为 $T \le 30$ 且 $T$ 是 4 的倍数，所以 $T$ 的最大可能值为 28。

当 $T = 28$ 时，$S = \dfrac{44 + 28}{4} = 18$。
此时可选取阴影数字集合为 $\{4, 7, 8, 9\}$（和为 28），剩余白色数字集合为 $\{2, 3, 5, 6\}$。
进行如下赋值检验：

• 设 $A = 4, B = 9, C = 8, D = 7$（阴影之和为 $4 + 9 + 8 + 7 = 28$）
• 则 $W_1 = 18 - (4 + 9) = 5$
• $W_3 = 18 - (8 + 7) = 3$
• $W_4 = 18 - (4 + 8) = 6$
• $W_2 = 18 - (9 + 7) = 2$

白色数字恰为 $\{2, 3, 5, 6\}$，所有数字各不相同且均在 2 至 9 之间，满足每行每列和均为 18。
因此，4 个阴影圆圈中的数字之和的最大可能值是 28。