To prepare for the General Election, a political party studies the effectiveness of spreading information on Instantglam, a social media platform, by uploading a particular video. The number of Instantglam users who have viewed the video increases at a rate that is directly proportional to the number of Instantglam users who have yet to view the video. The number of Instantglam users who have viewed the video $t$ hours after the video is uploaded is $x$. The total number of Instantglam users is $P$, assumed to be fixed.

1. 根据题意列出微分方程并分离变量积分

根据题意，观看视频的人数 $x$ 增加的速率 $\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ 与尚未观看视频的人数 $(P - x)$ 成正比：
$\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = k(P - x) \quad (k > 0)$
分离变量得：
$\int \dfrac{1}{P - x} \,\mathrm{d}x = \int k \,\mathrm{d}t$
$-\ln(P - x) = kt + C \quad (\text{因 } x < P \text{，故 } P - x > 0)$
$\ln(P - x) = -kt - C$
$P - x = A\mathrm{e}^{-kt} \quad (\text{其中 } A = \mathrm{e}^{-C} > 0)$

2. 代入初始条件确定常数，推导目标关系式

在视频刚上传时（$t = 0$），已观看人数 $x = 0$。
代入上式：
$P - 0 = A \mathrm{e}^{0} \implies A = P$
代演可得：
$P - x = P \mathrm{e}^{-kt}$
$x = P - P \mathrm{e}^{-kt} = P(1 - \mathrm{e}^{-kt})$（证毕）

3. 根据 $t = 12$ 时的观看人数占比求出常数 $k$

已知当 $t = 12$ 时，$x = 0.5P$：
$0.5P = P(1 - \mathrm{e}^{-12k})$
$0.5 = 1 - \mathrm{e}^{-12k}$
$\mathrm{e}^{-12k} = 0.5$
$-12k = \ln(0.5) = -\ln 2$
$k = \dfrac{\ln 2}{12} \approx 0.05776$

4. 计算 80% 用户观看视频所需的时间 $t$

当 80% 的用户观看视频时，$x = 0.8P$：
$0.8P = P(1 - \mathrm{e}^{-kt})$
$0.8 = 1 - \mathrm{e}^{-kt}$
$\mathrm{e}^{-kt} = 0.2$
$-kt = \ln(0.2) = -\ln 5$
$t = \dfrac{\ln 5}{k} = \dfrac{\ln 5}{\frac{\ln 2}{12}} = \dfrac{12\ln 5}{\ln 2} \approx 27.86 \text{ 小时}$
精确到最接近的小时，时间为 $28$ 小时。

5. 绘制 $x$ 关于 $t$ 的函数图像

分析函数 $x = P(1 - \mathrm{e}^{-kt})$ 的图像特征：

1. 当 $t = 0$ 时，$x = 0$，图像过原点 $(0, 0)$；
2. 当 $t > 0$ 时，$\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = kP\mathrm{e}^{-kt} > 0$，函数单调递增；
3. $\dfrac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = -k^2 P\mathrm{e}^{-kt} < 0$，曲线凹向下方（增长速率逐渐减慢）；
4. 当 $t \to \infty$ 时，$x \to P$，存在水平渐近线 $x = P$；
5. 图像经过点 $(12, 0.5P)$。

绘图要点：在第一象限画一条从原点 $(0,0)$ 开始上凸递增、并无限趋近于虚线渐近线 $x = P$ 的平滑曲线，标出横轴 $t$、纵轴 $x$ 以及渐近线 $x = P$。