已知集合 $A = [0, +\infty)$，对应法则 $f: x \mapsto y = x^2 - 2x + 3$。
(1) 说明为什么对应关系 $f: A \to \mathbb{R}$ 是一个合法的函数；
(2) 求该函数的值域 $f(A)$。

1. 说明对应关系满足函数的定义

根据函数的定义，一个从集合 $A$ 到集合 $B$ 的对应关系 $f: A \to B$ 是函数，当且仅当对于集合 $A$ 中的任意一个元素 $x$，按照对应法则 $f$，在集合 $B$ 中都有唯一确定的元素 $y$ 与之对应。
在本题中，定义域为 $A = [0, +\infty)$，到达域为 $\mathbb{R}$。
对于任意 $x \in [0, +\infty)$，代数式 $y = x^2 - 2x + 3$ 都有意义，且能计算出唯一确定的实数值 $y$。
因此，对应关系 $f: A \to \mathbb{R}$ 满足函数的定义，是一个合法的函数。

1. 对二次函数进行配方，确定顶点与对称轴

对解析式进行配方：
$f(x) = x^2 - 2x + 3 = (x - 1)^2 + 2$
此二次函数的图像开口向上，对称轴为直线 $x = 1$，顶点坐标为 $(1, 2)$。

2. 结合定义域 $A=[0, +\infty)$ 分析单调性并求出值域

因为对称轴 $x = 1 \in [0, +\infty)$：

• 当 $x \in [0, 1]$ 时，$f(x)$ 单调递减，自 $f(0) = 3$ 减小至最小值 $f(1) = 2$；
• 当 $x \in [1, +\infty)$ 时，$f(x)$ 单调递增，当 $x \to +\infty$ 时，$f(x) \to +\infty$。
  因此，当 $x \in [0, +\infty)$ 时，$f(x)$ 的最小值为 $2$，函数值的取值范围为 $[2, +\infty)$。
  即函数的值域 $f(A) = [2, +\infty)$。