体育器材室有一批羽毛球，总数在 $300$ 到 $400$ 之间（不含 $300$ 和 $400$）。如果每 $2$ 个装一盒，恰好装完；如果每 $5$ 个装一盒，也恰好装完；如果每 $3$ 个装一盒，最后还剩 $2$ 个。
（1）这批羽毛球总数的个位数字是多少？请说明理由。
（2）这批羽毛球最多有多少个？最少有多少个？

1. 分析能同时被2和5整除的数的特征并确定个位数字

因为羽毛球每 $2$ 个装一盒或每 $5$ 个装一盒都恰好装完，所以羽毛球的总数既是 $2$ 的倍数，也是 $5$ 的倍数。
同时是 $2$ 和 $5$ 的倍数的数，其个位数字必须是 $0$。
因此，这批羽毛球总数的个位数字是 $0$。

1. 确定符合整十数条件的候选范围

由第（1）问可知，羽毛球总数是 $10$ 的倍数。又因为总数在 $300$ 到 $400$ 之间（不含 $300$ 和 $400$），所以可能的总数为：$310, 320, 330, 340, 350, 360, 370, 380, 390$。

2. 结合每3个装一盒还剩2个（被3除余2）的条件筛选并求出最值

每 $3$ 个装一盒还剩 $2$ 个，即总数除以 $3$ 余 $2$：

• $310$：$310 \div 3 = 103 \dots 1$（不符合）
• $320$：$320 \div 3 = 106 \dots 2$（符合）
• $330$：$330 \div 3 = 110$（不符合）
• $340$：$340 \div 3 = 113 \dots 1$（不符合）
• $350$：$350 \div 3 = 116 \dots 2$（符合）
• $360$：$360 \div 3 = 120$（不符合）
• $370$：$370 \div 3 = 123 \dots 1$（不符合）
• $380$：$380 \div 3 = 126 \dots 2$（符合）
• $390$：$390 \div 3 = 130$（不符合）

满足条件的总数有 $320, 350, 380$。
因此，这批羽毛球最多有 $380$ 个，最少有 $320$ 个。