下列运算正确的是$(\quad)$

A. $2\sqrt{2}\boldsymbol{⋅}\sqrt{2}=4$

B. $2+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$

C. $\sqrt{2+4}=\sqrt{2}+2$

D. $\dfrac{\sqrt{8}}{2}=2$

1. 分析并判断A选项的正误

对于A选项，依据二次根式的乘法法则：
$2\sqrt{2}\boldsymbol{\cdot}\sqrt{2} = 2 \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2}) = 2 \times 2 = 4$
因此，A选项的运算正确。

2. 分析并判断B选项的正误

对于B选项，$2$与$\sqrt{2}$不是同类二次根式，无法进行合并，所以 $2+\sqrt{2} \neq 2\sqrt{2}$，因此B选项的运算错误。

3. 分析并判断C选项的正误

对于C选项，首先计算根号内部的加法，$\sqrt{2+4} = \sqrt{6}$。而 $\sqrt{2}+2$ 无法化简，且 $\sqrt{6} \neq \sqrt{2}+2$。因此C选项的运算错误。

4. 分析并判断D选项的正误

对于D选项，先将 $\sqrt{8}$ 化为最简二次根式，即 $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。然后进行除法运算：
$\dfrac{\sqrt{8}}{2} = \dfrac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$
因为 $\sqrt{2} \neq 2$，所以D选项的运算错误。

综上所述，只有A选项正确。