The diagram shows a solid formed from a cone, a cylinder and a hemisphere. The cone has base radius $1.5x$ cm and height $y$ cm. The cylinder has radius $1.5x$ cm and height $3x$ cm. The hemisphere has radius $3x$ cm.

1. 分别用含有 $x$ 和 $y$ 的代数式表示圆锥和半球的体积

圆锥的底面半径为 $1.5x\text{ cm}$，高为 $y\text{ cm}$，其体积为：
$V_{\text{圆锥}} = \frac{1}{3} \pi (1.5x)^2 y = \frac{1}{3} \pi (2.25x^2) y = 0.75\pi x^2 y\text{ cm}^3$

半球的半径为 $3x\text{ cm}$，其体积为：
$V_{\text{半球}} = \frac{2}{3} \pi (3x)^3 = \frac{2}{3} \pi (27x^3) = 18\pi x^3\text{ cm}^3$

2. 根据“半球体积是圆锥体积的 3 倍”建立方程并求解 $y$

根据题意，$V_{\text{半球}} = 3 \times V_{\text{圆锥}}$：
$18\pi x^3 = 3 \times (0.75\pi x^2 y)$
$18\pi x^3 = 2.25\pi x^2 y$

两边同时除以 $\pi x^2$（因为 $x > 0$）：
$18x = 2.25y$
$y = \frac{18x}{2.25} = 8x$

得证 $y = 8x$。

1. 计算圆锥的母线长及侧面积（用 $x$ 表示）

代入 $y = 8x$，圆锥的高为 $8x\text{ cm}$，底面半径为 $1.5x\text{ cm}$。
圆锥的母线长 $l$ 为：
$l = \sqrt{(1.5x)^2 + (8x)^2} = \sqrt{2.25x^2 + 64x^2} = \sqrt{66.25}x\text{ cm}$

圆锥侧面积为：
$A_{\text{圆锥侧}} = \pi r l = \pi (1.5x) (\sqrt{66.25}x) = 1.5\sqrt{66.25}\pi x^2 \approx 12.2091\pi x^2\text{ cm}^2$

2. 计算圆柱侧面积、半球顶部露出环形面积和半球侧面积

1. 圆柱侧面积：
   $A_{\text{圆柱侧}} = 2\pi r h_{\text{柱}} = 2\pi (1.5x) (3x) = 9\pi x^2\text{ cm}^2$

2. 半球顶部露出的平面环形面积：
   $A_{\text{环形}} = \pi (3x)^2 - \pi (1.5x)^2 = 9\pi x^2 - 2.25\pi x^2 = 6.75\pi x^2\text{ cm}^2$

3. 半球曲面面积：
   $A_{\text{半球侧}} = 2\pi (3x)^2 = 18\pi x^2\text{ cm}^2$

3. 汇总总表面积表达式，结合已知总表面积 $450\text{ cm}^2$ 解出 $x$

组合体总表面积 $A_{\text{总}}$ 为各暴露部分的面积之和：
$A_{\text{总}} = A_{\text{圆锥侧}} + A_{\text{圆柱侧}} + A_{\text{环形}} + A_{\text{半球侧}}$
$A_{\text{总}} = (1.5\sqrt{66.25} + 9 + 6.75 + 18)\pi x^2 = (1.5\sqrt{66.25} + 33.75)\pi x^2 \approx 45.9591\pi x^2$

已知总表面积为 $450\text{ cm}^2$：
$45.9591\pi x^2 = 450$
$144.3853 x^2 = 450$
$x^2 = \frac{450}{144.3853} \approx 3.11666$
$x = \sqrt{3.11666} \approx 1.7654\text{ cm}$

4. 计算组合体的总高度 $h$

组合体的总高度 $h$ 为圆锥的高、圆柱的高以及半球半径之和：
$h = y + 3x + 3x = 8x + 3x + 3x = 14x$

将 $x \approx 1.7654\text{ cm}$ 代入：
$h = 14 \times 1.7654 \approx 24.7157\text{ cm}$

保留三位有效数字得：
$h = 24.7\text{ cm}$