如图，在空间直角坐标系 $O-xyz$ 中（遵循右手确立规则），已知正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 $2$，底面 $ABCD$ 在 $xOy$ 平面上，且点 $A$ 与坐标原点 $O$ 重合，棱 $AB, AD, AA_1$ 分别在线段 $x, y, z$ 轴的正半轴上。求顶点 $C_1$ 的坐标以及点 $C_1$ 到 $x$ 轴的距离。


y

z

x
O(A)






B
D
C_1

1. 根据正方体在空间直角坐标系中的位置确定顶点 $C_1$ 的坐标

由题意，正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 $2$。
坐标原点 $O$ 与顶点 $A$ 重合，即 $A(0,0,0)$。
棱 $AB, AD, AA_1$ 分别在线段 $x, y, z$ 轴的正半轴上，故：
$B(2,0,0)$，
$D(0,2,0)$，
$A_1(0,0,2)$。
由于底面 $ABCD$ 在 $xOy$ 平面上且为正方形，所以顶点 $C$ 的坐标为 $(2,2,0)$。
顶点 $C_1$ 在 $z$ 轴方向上的高度为 $2$，因此顶点 $C_1$ 的坐标为 $(2,2,2)$。

2. 计算点 $C_1$ 到 $x$ 轴的距离

点 $C_1(2,2,2)$ 到 $x$ 轴的垂足为点 $B(2,0,0)$。
空间中点 $(x,y,z)$ 到 $x$ 轴的距离公式为 $d = \sqrt{y^2 + z^2}$。
代入 $y=2, z=2$ 可得：
$d = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
因此，点 $C_1$ 到 $x$ 轴的距离为 $2\sqrt{2}$。