将数字2至9填入8个圆圈中，使得每一行和每一列中的数字总和相等。将4个阴影圆圈中的数字相加。这4个数字之和的最大可能值是 ___。

1. 建立各行各列数字之和与阴影圆圈数字之和的等量关系

将要填入的 8 个数字相加，得到所有数字的总和：
$2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 44$
根据图示，图中共有 2 行和 2 列，每行和每列均包含 3 个圆圈。
设每行、每列中 3 个圆圈的数字之和均为 $S$；设 4 个阴影圆圈中的数字之和为 $M$。
观察位置可知，4 个白色圆圈各只属于 1 行或 1 列，而 4 个阴影圆圈均处在某一行与某一列的交叉处，各被计算了 2 次（即为重叠数）。
因此，将 2 行与 2 列的总和相加，得：
$4S = 44 + M$
变形可得：
$M = 4S - 44 = 4(S - 11)$
由于 $S$ 为整数，所以 4 个阴影圆圈中的数字之和 $M$ 必须是 4 的倍数。

2. 确定阴影圆圈之和的最大可能值并构造实例检验

从数字 $2$ 至 $9$ 中任取 4 个不同的数，其和的最大理论值为最大的 4 个数之和：
$9 + 8 + 7 + 6 = 30$
因为 $M \le 30$ 且 $M$ 必须为 4 的倍数，所以 $M$ 的最大可能取值为 $28$。

检验 $M = 28$ 是否可以实现：
当 $M = 28$ 时，$S = \dfrac{44 + 28}{4} = 18$。
此时 4 个白色圆圈的数字之和为 $44 - 28 = 16$。
取阴影圆圈填入数字 $\{4, 7, 8, 9\}$（和为 $28$），则白色圆圈填入数字 $\{2, 3, 5, 6\}$（和为 $16$）。
进行如下排列：

• 第一行填入：$2$（白）、$9$（阴）、$7$（阴），行和为 $2 + 9 + 7 = 18$；
• 第二行填入：$4$（阴）、$8$（阴）、$6$（白），行和为 $4 + 8 + 6 = 18$；
• 第一列填入：$9$（阴）、$4$（阴）、$5$（白），列和为 $9 + 4 + 5 = 18$；
• 第二列填入：$3$（白）、$7$（阴）、$8$（阴），列和为 $3 + 7 + 8 = 18$。

此时每行、每列的和均为 $18$，且 8 个数字恰好各使用一次，满足所有条件。
因此，4 个阴影圆圈中数字之和的最大可能值是 $28$。