四位数$45□□$能同时被$4$、$9$整除，这个四位数最小是多少？

1. 分析能被9整除的特征并确定后两位数字和的可能值

根据能被 $9$ 整除的数的特征，一个数各个数位上的数字之和必须能被 $9$ 整除。
对于四位数 $45\square\square$，其千位和百位数字之和为 $4 + 5 = 9$，已经是 $9$ 的倍数。
因此，设十位数字为 $a$，个位数字为 $b$（其中 $0 \le a, b \le 9$ 且 $a, b$ 为整数），则后两位数字之和 $a + b$ 必须是 $9$ 的倍数，即 $a + b$ 可以是 $0$、$9$ 或 $18$。

2. 分析能被4整除的特征

根据能被 $4$ 整除的数的特征，一个数如果末两位数能被 $4$ 整除，这个数就能被 $4$ 整除。
所以，由十位和个位数组成的两位数 $\overline{ab}$ 必须能被 $4$ 整除。

3. 通过最小化最高可能位数，求解满足条件的最小四位数

要使这个四位数最小，应使十位和个位数字尽可能小。我们从十位数字 $a = 0$ 开始尝试：

• 当 $a = 0$ 时，若 $a + b = 0$，则 $b = 0$，此时末两位为 $00$。因为 $00$ 能被 $4$ 整除，且 $4+5+0+0=9$ 能被 $9$ 整除，所以 $4500$ 满足所有条件。
  由于 $4500$ 是以 $45$ 开头的四位数中最小的一个，因此这个四位数最小是 $4500$。