$10$名工人某天生产同一个零件，个数分别是$45$，$50$，$50$，$75$，$20$，$30$，$50$，$80$，$20$，$30$，设这些零件的平均数为$\overset{-}{a}$，中位数为$b$，众数为$c$，那么$(\quad)$

A. $a< c< b$

B. $c< b< a$

C. $a< b< c$

D. $c< a< b$

1. 计算这组数据的平均数 $a$

根据平均数的定义，将这 $10$ 个数据相加并除以 $10$：
$a = \frac{45 + 50 + 50 + 75 + 20 + 30 + 50 + 80 + 20 + 30}{10} = \frac{450}{10} = 45$

2. 计算这组数据的中位数 $b$

首先将这组数据按从小到大的顺序排列：
$20, \ 20, \ 30, \ 30, \ 45, \ 50, \ 50, \ 50, \ 75, \ 80$
由于数据个数为 $10$（偶数），中位数为处在最中间的第 $5$ 个和第 $6$ 个数据的平均数：
$b = \frac{45 + 50}{2} = 47.5$

3. 确定这组数据的众数 $c$

在排列好的数据中，$50$ 出现了 $3$ 次，出现的次数最多，因此众数：
$c = 50$

4. 比较平均数、中位数和众数的大小关系并做出选择

比较计算所得的数值：
$a = 45, \ b = 47.5, \ c = 50$
显然，有：
$45 < 47.5 < 50 \implies a < b < c$
因此正确选项为 C。