男运动员$4$名，女运动员$3$名，其中男女队长各$1$人，现$7$名运动员排成一排。 (1)如果女运动员全排在一起，有多少种排法？ (2)如果女运动员都不相邻，有多少种排法？ (3)如果女运动员不站两端，有多少种排法？ (4)如果男队长不站左端，女队长不站右端，有多少种排法？$($请列出式子，算出结果$)$

1. 使用捆绑法将女运动员看作一个整体，计算女运动员内部的排列数

由于 $3$ 名女运动员必须排在一起，我们可以使用“捆绑法”。首先，将这 $3$ 名女运动员看作一个整体，她们内部的排列数为：
$A_{3}^{3} = 3 \times 2 \times 1 = 6$

2. 将整体与其余男运动员进行排列

把这个女运动员的整体与其余 $4$ 名男运动员一起进行全排列，相当于对 $5$ 个元素进行全排列，其排列数为：
$A_{5}^{5} = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

3. 计算总排列数

根据分步乘法计数原理，总的排法种数为：
$A_{3}^{3}A_{5}^{5} = 6 \times 120 = 720$

1. 先对没有限制条件的男运动员进行排列

由于女运动员不能相邻，我们可以使用“插空法”。首先安排 $4$ 名男运动员，其排列数为：
$A_{4}^{4} = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

2. 在男运动员产生的空位中插入女运动员

$4$ 名男运动员排好后，中间和两端共产生 $5$ 个空位。从这 $5$ 个空位中选出 $3$ 个安排 $3$ 名女运动员，其排列数为：
$A_{5}^{3} = 5 \times 4 \times 3 = 60$

3. 计算总排列数

根据分步乘法计数原理，总的排法种数为：
$A_{4}^{4}A_{5}^{3} = 24 \times 60 = 1440$

1. 优先考虑两端的特殊位置，用男运动员占位

女运动员不站两端，说明两端只能从 $4$ 名男运动员中选出 $2$ 人站立，其排列数为：
$A_{4}^{2} = 4 \times 3 = 12$

2. 对其余没有位置限制的运动员进行全排列

剩下的 $5$ 名运动员（包含 $2$ 名男运动员，$3$ 名女运动员）在中间的 $5$ 个位置进行全排列，其排列数为：
$A_{5}^{5} = 120$

3. 计算总排列数

根据分步乘法计数原理，总的排法种数为：
$A_{4}^{2}A_{5}^{5} = 12 \times 120 = 1440$

1. 计算无限制条件下的总全排列数

$7$ 人全排列，总的排法种数为：
$A_{7}^{7} = 5040$

2. 计算不符合条件的一种情况，即男队长在最左端

不符合条件的情形之一为男队长站左端，其余 $6$ 人进行排列，共有排法：
$A_{6}^{6} = 720$ 种

3. 计算不符合条件的另一种情况，即女队长在最右端

不符合条件的情形之二为女队长站右端，其余 $6$ 人进行排列，共有排法：
$A_{6}^{6} = 720$ 种

4. 计算两种情况重叠的部分，即男队长在左端且女队长在右端

重复多减去的情形为男队长在最左端且女队长在最右端，此时其余 $5$ 人进行全排列，排法为：
$A_{5}^{5} = 120$ 种

5. 运用容斥原理求得最终满足条件的排法种数

根据容斥原理，所求排法总数为：
$A_{7}^{7} - 2A_{6}^{6} + A_{5}^{5} = 5040 - 2 \times 720 + 120 = 3720$