黄油老师一起做游戏，岛主把两个不同一位数的和告诉了光光，把它们的差告诉了飞飞，把它们的积告诉了思密达。光光说:我不知道这两个数是多少。飞飞说:我也不知道这两个数是多少。思密达说:我也不知道这两个数是多少，而且我早就知道你们两个不可能知道这两个数是多少。飞飞想了想说:我还是不知道这两个数是多少。光光说:刚才我还不知道，但是飞飞说了我就知道了。那么这两个数是？

1. 分析初始条件与光光、飞飞的第一轮发言，缩小可能数对的范围

设这两个不同的两位数/一位数为 $a, b$，不妨设 $9 \ge a > b \ge 1$。
两个不同一位数共有 $\binom{9}{2} = 36$ 种可能的组合。
光光知道和 $S = a+b$，飞飞知道差 $D = a-b$，思密达知道积 $P = a \cdot b$。

1. 光光说：“我不知道”：说明和 $S$ 对应的数对不唯一。
   在 36 种数对中，和唯一的数对有：

• $S=3$: $(2,1)$
• $S=4$: $(3,1)$
• $S=16$: $(9,7)$
• $S=17$: $(9,8)$
  因此 $S \notin \{3, 4, 16, 17\}$。

1. 飞飞说：“我也不知道”：说明差 $D$ 对应的数对不唯一。
   在 36 种数对中，差唯一的只有 $D=8$（即 $(9,1)$），因此 $D \neq 8$。

2. 分析思密达的发言，确定可能的积及剩余候选数对

思密达说：“我也不知道这两个数是多少，而且我早就知道你们两个不可能知道这两个数是多少。”

1. “我不知道”：说明积 $P$ 对应的数对不唯一（即能拆分成多组不同一位数的乘积）。
   在所有数对中，具有多组乘积拆分的积仅有：

• $P=6$: $(6,1), (3,2)$
• $P=8$: $(8,1), (4,2)$
• $P=12$: $(6,2), (4,3)$
• $P=18$: $(9,2), (6,3)$
• $P=24$: $(8,3), (6,4)$

1. “我早就知道你们两个不可能知道”：说明对于这 5 个积所包含的所有数对，其和 $S \notin \{3, 4, 16, 17\}$ 且差 $D \neq 8$。
   经检验，上述 5 个积包含的 10 组数对均满足该条件。
   因此，此时所有人均可知这两个数必在以下 10 组候选数对中：
   $(6,1), (3,2), (8,1), (4,2), (6,2), (4,3), (9,2), (6,3), (8,3), (6,4)$。

3. 分析飞飞和光光的第二轮发言，推导唯一解

1. 飞飞说：“我还是不知道”：
   飞飞知道差 $D$。将 10 组候选数对按差 $D$ 分组：

• $D=1$: $(3,2), (4,3)$（2组）
• $D=2$: $(4,2), (6,4)$（2组）
• $D=3$: $(6,3)$（1组）
• $D=4$: $(6,2)$（1组）
• $D=5$: $(6,1), (8,3)$（2组）
• $D=7$: $(8,1), (9,2)$（2组）
  若 $D=3$ 或 $D=4$，飞飞此时就能确定这两个数。由于飞飞依然不知道，说明 $D \neq 3$ 且 $D \neq 4$。
  因此排除数对 $(6,3)$ 和 $(6,2)$。

1. 光光说：“刚才我还不知道，但是飞飞说了我就知道了”：

• “刚才我还不知道”：在飞飞排除之前（10组数对时），光光手中的和 $S$ 对应的数对不唯一。
  10组数对按和 $S$ 分组：
  • $S=5$: $(3,2)$（1组）
  • $S=6$: $(4,2)$（1组）
  • $S=7$: $(6,1), (4,3)$（2组）
  • $S=8$: $(6,2)$（1组）
  • $S=9$: $(8,1), (6,3)$（2组）
  • $S=10$: $(6,4)$（1组）
  • $S=11$: $(9,2), (8,3)$（2组）
    对应不唯一的和只有 $S \in \{7, 9, 11\}$。
• “飞飞说了我就知道了”：飞飞排除了 $(6,3)$ 和 $(6,2)$ 后，光光手中的和 $S$ 对应的数对变成了唯一的。
  观察 $S \in \{7, 9, 11\}$ 在排除后的变化：
  • 若 $S=7$，剩余 $(6,1)$ 和 $(4,3)$（仍不唯一）；
  • 若 $S=9$，原本有 $(8,1)$ 和 $(6,3)$，排除 $(6,3)$ 后只剩 $(8,1)$（变为唯一！）；
  • 若 $S=11$，剩余 $(9,2)$ 和 $(8,3)$（仍不唯一）。

因此，光光手中的和一定是 $S=9$，这两个数是 $8$ 和 $1$。