已知，$n$是四位数，且$n$除以9的余数是4，$n$除以7的余数是3，$n$除以5的余数是2. 那么，满足条件的最小的$n =$ ___ .

1. 综合除以 9 和除以 5 的余数条件，求出同时满足两者的通项公式

由题意，$n$ 除以 9 余 4，除以 5 余 2。
列举满足除以 9 余 4 的数：$4, 13, 22, 31, \dots$
其中除以 5 余 2 的最小正整数为 $22$。
因为 $\text{lcm}(9, 5) = 45$，所以同时满足这两个条件的数为：
$n = 45k + 22 \quad (k \in \mathbb{Z})$

2. 代入除以 7 余 3 的条件，求解基本通解

将 $n = 45k + 22$ 代入除以 7 余 3 的条件中：
$45k + 22 \equiv 3 \pmod 7$
因为 $45 \equiv 3 \pmod 7$，$22 \equiv 1 \pmod 7$，所以：
$3k + 1 \equiv 3 \pmod 7 \implies 3k \equiv 2 \pmod 7$
两边同乘以 5（因为 $3 \times 5 = 15 \equiv 1 \pmod 7$）：
$k \equiv 10 \equiv 3 \pmod 7$
取最小非负整数 $k = 3$，代入得满足三个条件的最小正整数解：
$n = 45 \times 3 + 22 = 157$
因为 $\text{lcm}(9, 7, 5) = 315$，所以满足条件的数的一般形式为：
$n = 315m + 157 \quad (m \in \mathbb{Z})$

3. 结合四位数范围，求出满足条件的最小四位数

要求 $n$ 为四位数，即 $n \ge 1000$：
$315m + 157 \ge 1000$
$315m \ge 843$
解得 $m \ge \dfrac{843}{315} \approx 2.68$
因为 $m$ 为整数，所以 $m$ 的最小值为 $3$。
此时满足条件的最小四位数：
$n = 315 \times 3 + 157 = 945 + 157 = 1102$