已知一个四位数 $\overline{5a7b}$ 同时是 $2$ 和 $5$ 的倍数，且被 $3$ 除余 $1$。
（1）从十进制数位拆分与倍数特征的角度，说明为什么个位数字 $b$ 必须是 $0$。
（2）求出所有满足条件的四位数 $\overline{5a7b}$，并计算其中最大数与最小数的差。

1. 由十进制数位拆分与2、5的倍数特征证明个位数字 $b=0$

将四位数 $\overline{5a7b}$ 按数位拆解为：
$\overline{5a7b} = 5000 + 100a + 70 + b = 10 \times (500 + 10a + 7) + b$
由于 $10 \times (500 + 10a + 7)$ 是 $10$ 的倍数，必能同时被 $2$ 和 $5$ 整除，因此 $\overline{5a7b}$ 能否同时被 $2$ 和 $5$ 整除完全取决于个位数字 $b$。

• 若该数是 $2$ 的倍数，则个位数字 $b$ 必须是偶数，即 $b \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$；
• 若该数是 $5$ 的倍数，则个位数字 $b$ 必须是 $0$ 或 $5$，即 $b \in \{0, 5\}$。
  要同时满足这两个条件，个位数字 $b$ 必须属于上述两集合的交集，即 $b = 0$。

1. 利用 3 的倍数特征及余数条件确定 $a$ 的所有可能取值

由（1）可知 $b = 0$，四位数为 $\overline{5a70}$。
根据被 $3$ 整除的余数特征，一个数被 $3$ 除的余数等于其各个数位上的数字之和被 $3$ 除的余数。
该四位数的各位数字之和为：
$5 + a + 7 + 0 = 12 + a$
因为 $12$ 能被 $3$ 整除，所以 $12 + a$ 被 $3$ 除余 $1$ 等价于 $a$ 被 $3$ 除余 $1$。
又因为 $a$ 是百位上的数字，取值范围为 $a \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$，满足被 $3$ 除余 $1$ 的数字有 $a = 1, 4, 7$。

2. 列出所有四位数并计算最大数与最小数的差

将 $a = 1, 4, 7$ 分别代入，得到所有满足条件的四位数为：
$5170, 5470, 5770$
其中最大数为 $5770$，最小数为 $5170$。
最大数与最小数的差为：
$5770 - 5170 = 600$