The smallest of a set of five number is an even number and it is prime. The range and the mean is 7. The median is also the only mode. State the five numbers.

1. 确定最小数和最大数

唯一的偶质数是 $2$，因此这 5 个数中最小的数（$a_1$）为 $2$。
已知极差为 $7$，则最大的数（$a_5$）为：
$a_5 = 2 + 7 = 9$

2. 利用平均数求出中间三个数的和

已知平均数为 $7$，则 5 个数的总和为：
$\text{总和} = 5 \times 7 = 35$
设这 5 个数从小到大排列为 $2, a_2, a_3, a_4, 9$。
则中间三个数的和为：
$a_2 + a_3 + a_4 = 35 - 2 - 9 = 24$

3. 利用中位数与众数条件分类讨论求出这 5 个数

中位数为 $a_3$。因为中位数也是唯一的众数，所以 $a_3$ 出现的次数必须最多。
根据 $a_2 + a_3 + a_4 = 24$ 且 $2 \le a_2 \le a_3 \le a_4 \le 9$：

• 若 $a_3 = 8$，则 $a_2 = a_3 = a_4 = 8$（因为 $8 + 8 + 8 = 24$），此时 8 出现 3 次，是唯一的众数也是中位数。这 5 个数为 $2, 8, 8, 8, 9$。
• 若 $a_3 = 9$，由于 $a_4 \le 9$，则 $a_3 = a_4 = 9$，代入得 $a_2 + 9 + 9 = 24 \implies a_2 = 6$。此时 9 出现 3 次，是唯一的众数也是中位数。这 5 个数为 $2, 6, 9, 9, 9$。

因此，满足条件的 5 个数为 $2, 8, 8, 8, 9$ 或 $2, 6, 9, 9, 9$。