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部分分式

分母不超过以下形式的部分分式拆分： $(ax + b)(cx + d)$ 、 $(ax + b)(cx + d)^{2}$ 、 $(ax + b)(x^{2} + c^{2})$

这个知识点的练习题

1将 $\frac{2x^4 + x^3 + 9x^2 + 7x + 3}{(x+1)(x^2+5)}$ 化为部分分式。
2将 $\dfrac{x^2+3x+2}{x^2(2x+1)}$ 表示为部分分式。由此对 $\dfrac{x^2+3x+2}{x^2(2x+1)}$ 关于 $x$ 进行积分。
3将 $\frac{8x+13}{(1+2x)(2+x)^2}$ 表示为部分分式。将 $\frac{8x+13}{(1+2x)(2+x)^2}$ 表示为部分分式。由此，求 $\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{8x+13}{(1+2x)(2+x)^2}\,\mathrm{d}x$ …
4将 $\dfrac{2x^{2}+3x}{x^{2}+3x+2}$ 表示为部分分式。由此计算 $\displaystyle \int_{1}^{3} \dfrac{2x^{2}+3x}{x^{2}+3x+2}\,dx$ 。已知 $y = x\ln\left(x^{2}+3x+2\right)$ …
5将 $\frac{3x^2 + 5x - 2}{(x + 1)(x^2 + 4)}$ 化为部分分式。
6将 $\frac{2x+15}{(3+x)(3-2x)}$ 表示为部分分式。由此求 $\int_{0}^{1} \frac{2x+15}{(3+x)(3-2x)} \, dx$ 的值。
7将 $\frac{5x^3 - 4x^2 + 15x - 21}{(x-1)(x^2 + 4)}$ 化为部分分式。
8将 $\frac{x + 7}{(x^2 - 9)(x - 3)}$ 表示为 3 个部分分式的和。
9将 $\frac{-3x^2 + 12x - 1}{(3x + 1)(x - 1)^2}$ 化为部分分式。
10求使得 $\frac{4x^3 + 7x^2 - 13x - 2}{(x^2 + 3)(x - 1)} = A + \frac{Bx + C}{x^2 + 3} + \frac{D}{x - 1}$ 成立的 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 和 $D$ …
11将 $\dfrac{8 - 3x}{(2x + 3)(x^2 + 4)}$ 展开为部分分式。求 $\ln\left(x^2 + 4\right)$ 对 $x$ 的导数。利用前两部分的结论，求 $\displaystyle \int_0^1 \frac{8 - 3x}{(2x + 3)(x^2 + 4)}\,\mathrm{d}x$ …
12将 $\frac{2x^3 - 5}{x^2(x - 1)}$ 化为部分分式。
13证明 $x - 2$ 是 $x^3 - 12x + 16$ 的因式。将 $\frac{2 + x^2}{x^3 - 12x + 16}$ 表示为三个部分分式之和。
14将 $\frac{13x - 6}{x^2(2x - 3)}$ 化为部分分式。由此求出 $\int \frac{13x - 6}{x^2(2x - 3)} \, dx$ 。
15证明 $x - 2$ 是 $x^{3} - 2x^{2} + 3x - 6$ 的一个因式。将 $\dfrac{11 - 2x}{x^{3} - 2x^{2} + 3x - 6}$ 化为部分分式。
16利用多项式长除法，证明 $2x^2+1$ 是 $2x^3-4x^2+x-2$ 的一个因式。将 $\dfrac{-5x^2+11x-11}{2x^3-4x^2+x-2}$ 表示为部分分式。
17一条曲线的方程为 $y = \frac{1 - \sin x}{\cos x}$ 。证明 $\frac{dy}{dx} = \tan x \sec x - \sec^2 x$ 。由此求出 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \sec x \, dx$ …
18将 $\frac{3x^2 - 4}{x^2(3x - 2)}$ 表示为部分分式。由此，求 $\int \frac{3x^2 - 4}{x^2(3x - 2)} \, dx$ 的值。
19将 $x^4 - 1$ 彻底因式分解。已知 $\frac{x^4}{x^4 - 1} = a + \frac{b}{x^4 - 1}$ ，求 $a$ 和 $b$ 的值。将 $\frac{x^4}{x^4 - 1}$ 表示为部分分式。
20将 $\frac{9x^2 + 17x - 16}{3x^2 + 5x - 2}$ 表示为部分分式。由此，求 $\int \frac{9x^2 + 17x - 16}{3x^2 + 5x - 2} \, dx$ 。
21将 $\frac{8x^3 + 3x + 1}{x(2x + 1)^2}$ 表示为一个多项式和一个真分式的和。由此，将 $\frac{8x^3 + 3x + 1}{x(2x + 1)^2}$ 表示为一个多项式和部分分式的和。 Q8(b)…
22将 $\frac{2x^3 + x^2 + x}{(x-1)(x^2 + 1)}$ 化为部分分式。求 $\ln(x^2 + 1)$ 对 $x$ 的导数。由此，求 $\int \frac{2x^3 + x^2 + x}{(x-1)(x^2 + 1)} \, dx$ …
23已知 $\text{f}(x) = x^3 + 3x^2 - 4$ ，证明 $x+2$ 是 $\text{f}(x)$ 的一个因式，并由此将 $\text{f}(x)$ 完全因式分解。由此，将 $\frac{2x^3 + 6x^2 + 7}{x^3 + 3x^2 - 4}$ …
24将 $2x^3+7x^2+4x-4$ 完全因式分解。将 $\dfrac{12x^2+32x+31}{2x^3+7x^2+4x-4}$ 表示为部分分式。
25将 $\frac{2x^3 - 4x^2 - 5x + 3}{(x-3)(x^2-9)}$ 表示为部分分式。
26将 $3x^3 - 24y^3$ 彻底因式分解。将 $\frac{7x^2 + 19x + 15}{(x + 1)^2(x + 2)}$ 表示为部分分式。
27将 $\frac{10x}{3-5x}$ 表示为 $a + \frac{b}{3-5x}$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 为整数。由此，求 $\frac{10x}{3-5x}$ 关于 $x$ 的积分。
28利用多项式长除法，计算 $4x^3 + 5x^2 + x - 1$ 除以 $x^2 (x+1)$ 。由此，将 $\dfrac{4x^3 + 5x^2 + x - 1}{x^2 (x+1)}$ 分解为部分分式。由此，求出 $\displaystyle \int \frac{4x^3 + 5x^2 + x - 1}{x^2 (x+1)}\,dx$ …
29将 $\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$ 分解为部分分式。
30将 $\frac{13x - 6}{x^2(2x - 3)}$ 化为部分分式。
31将 $\frac{14x^2 - 15x - 29}{(x-1)^2(2x+3)}$ 化为部分分式。
32将 $\frac{7x + 8}{(2x + 1)(x - 1)^2}$ 化为部分分式。
33将 $\frac{8x^2 - x}{4x^2 - 1}$ 表示为部分分式。利用第 (i) 部分的结果，求 $\int \frac{8x^2 - x}{4x^2 - 1} \, dx$ 。
34将 $\frac{4x^3-x^2+37x-50}{(x^2+9)(x-1)}$ 表示为部分分式。
35将 $\frac{-x^2 + 2x + 1}{(x-1)(x^2 + 1)}$ 表示为 $\frac{A}{x-1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}$ 的形式，其中 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 是常数。求 $\ln(x^2 + 1)$ …
36将 $\frac{2x^3 - 4x^2 - 5x + 3}{(x - 3)(x^2 - 9)}$ 化为部分分式。由此，求 $\int \frac{2x^3 - 4x^2 - 5x + 3}{(x - 3)(x^2 - 9)} \, dx$ …
37将 $\frac{2x-1}{x^2(x+1)}$ 化为部分分式。
38将 $\frac{2x^3+2x^2-7x+4}{x(x-1)^2}$ 化为部分分式。由此计算 $\int_{2}^{4} \frac{4x^3+4x^2-14x+8}{3x(x-1)^2} \, dx$ 。
39将 $\frac{15x^2 - 13x + 18}{(x - 2)(3x^2 + 1)}$ 化为部分分式。