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反函数图像

单射（一一对应）函数与其反函数图像之间的关系。

这个知识点的练习题

  1. 1函数 ff 和 gg 的定义如下： f:x↦16−4x,  x∈R,  x≤4,f : x \mapsto \sqrt{16 - 4x},\; x \in \mathbb{R},\; x \le 4, g:x↦x2,  x∈R.g : x \mapsto x^{2},\; x \in \mathbb{R}.…
  2. 2曲线 C 的方程为 x+y=(x−y)2x + y = (x - y)^2。 已知 C 只有一个转向点。 证明 1−dydx=21+2x−2y1 - \frac{dy}{dx} = \frac{2}{1 + 2x - 2y}。 由此，或用其他方法，证明 d2ydx2=(1−dydx)3\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2} = \left(1 - \frac{dy}{dx}\right)^3…
  3. 3将方程为 y=f(x)y=f(x) 的曲线先关于 y 轴进行反射，接着沿 x 轴负方向平移 1 个单位，最后在平行于 y 轴的方向上进行拉伸（缩放因子为 2）。所得曲线的方程由 y=g(x)y=g(x) 给出，其中 g(x)=14−x2  ,−2<x<0g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}\;,\quad -2<x<0…
  4. 4函数 g\text{g} 定义为 g:x→sin⁡x+x\text{g} : x \to \sin x + x，其中 x∈Rx \in \mathbb{R}，−π≤x≤π-\pi \le x \le \pi。 证明对于 −π<x<π-\pi < x < \pi，有 g′(x)>0\text{g}'(x) > 0…
  5. 5曲线 y=f(x)y=f(x) 依次进行以下变换： A：关于 y 轴对称 B：沿 x 轴方向平移 2 个单位 C：沿 y 轴方向平移 −a-a 个单位，其中 a>1a>1 所得曲线的方程为 y=g(x)y=g(x)，其中 g(x)=1−3a−x+5g(x)=\dfrac{1-3a}{-x+5}…
  6. 6函数 gg 定义为 g(x)={21+x2if x≤0,0if x>0.g(x)=\begin{cases} \displaystyle\frac{2}{1+x^2} &\text{if } x\le 0,\\[4pt] 0 &\text{if } x>0. \end{cases}…
  7. 7函数 f 定义为 f:x↦ex+12x+2对于 x∈R, x≠−1.f : x \mapsto e^x + \dfrac{1}{2x+2}\quad\text{对于 } x \in \mathbb{R},\ x \ne -1. 函数 g 定义在 x∈R, x≥1x \in \mathbb{R},\ x \ge 1…
  8. 8函数 f\mathrm{f} 定义为 f(x)={4−xfor 1≤x<3,(x−4)2for 3≤x<4,\mathrm{f}(x) = \begin{cases} 4 - x & \text{for } 1 \le x < 3, \\ (x - 4)^2 & \text{for } 3 \le x < 4, \end{cases}…
  9. 9函数 f\text{f} 的定义为 f:x→2x−12x,0<x<2.\text{f} : x \to 2x - \frac{1}{2x}, \quad 0 < x < 2. 已知 f−1\text{f}^{-1} 存在。 以类似的格式定义 f−1\text{f}^{-1}…
  10. 10函数 ff 定义为 f:x↦5(x−4)2f : x \mapsto \dfrac{5}{(x-4)^2}，其中 x∈R, x<4x\in\mathbb{R},\ x<4。 求 f−1(x)f^{-1}(x) 并写出 f−1f^{-1} 的定义域。 在同一个清晰标示的图中，画出…
  11. 11函数 f 定义为 f:x↦{a2x−ax2for x≤12a,−12a2x+12a3for x>12a.f : x \mapsto \begin{cases} a^2 x - a x^2 & \text{for } x \le \tfrac{1}{2}a, \\ -\tfrac{1}{2}a^2 x + \tfrac{1}{2}a^3 & \text{for } x > \tfrac{1}{2}a. \end{cases}…
  12. 12函数 f\mathrm{f} 定义为 f:x↦2xx2−1,x∈R, x>1\mathrm{f} : x \mapsto \frac{2x}{x^2 - 1}, \quad x \in \mathbb{R}, \ x > 1。 草绘 f\mathrm{f} 的图像并证明…
  13. 13函数 gg 定义为 g(x)={21+x2if x≤0,0if x>0.g(x)=\begin{cases} \dfrac{2}{1+x^2} &\text{if } x \le 0, \\ 0 &\text{if } x > 0. \end{cases} 给出 gg 没有反函数…
  14. 14下图显示了 y=f(x)y=f(x) 的图像。 在同一图上画出 y=f−1(x)y=f^{-1}(x) 的图像，清晰标出任何渐近线方程以及曲线与坐标轴交点的坐标。并说明这两个图像之间的几何关系。 函数 gg 定义为 g:x↦x2+6x+5g:x\mapsto x^{2}+6x+5…
  15. 15函数 f 的定义为 f:x↦x3−1f : x \mapsto x^{3} - 1, x∈Rx \in \mathbb{R}。 (i) 求 f−1(x)f^{-1}(x) 的表达式。 (ii) 在同一幅图上草绘 y=f(x)y = f(x) 和 y=f−1(x)y = f^{-1}(x)…
  16. 16函数 f 定义为 f:x↦12−x2,x∈R,  x≤0,  x≠−2 .f:x\mapsto\dfrac{1}{2-x^2},\quad x\in\mathbb{R},\;x\le 0,\;x\ne -\sqrt{2}\,. 以类似的格式定义反函数 f−1f^{-1}。 在同一坐标系中画…
  17. 17函数 f\mathrm{f} 和 g\mathrm{g} 定义如下： f:x↦2x+143x−2,x∈R,x>23,g:x↦sin⁡xx,x∈R,x>0.\begin{aligned} \mathrm{f} &: x \mapsto \frac{2x+14}{3x-2}, \quad x \in \mathbb{R}, x > \frac{2}{3}, \\ \mathrm{g} &: x \mapsto \frac{\sin x}{x}, \quad x \in \mathbb{R}, x > 0. \end{aligned}…
  18. 18函数 f\text{f} 的定义为 f:x→13(ex−2−1),x>2\text{f} : x \to \frac{1}{3}(e^{x-2}-1), x > 2。 求 f−1\text{f}^{-1} 并写出其定义域。 解释为什么 f(x)=f−1(x)\text{f}(x) = \text{f}^{-1}(x)…
  19. 19图中的函数 ff 在 0≤x≤60 \le x \le 6 上定义如下： f:x↦12x2for 0≤x≤2,f : x \mapsto \tfrac{1}{2}x^{2}\quad\text{for }0 \le x \le 2, f:x↦12x+1for 2<x≤6.f : x \mapsto \tfrac{1}{2}x + 1\quad\text{for }2 < x \le 6.…
  20. 20函数 f 的定义如下。 f : x−>−1x2+1x -> \displaystyle -\frac{1}{x^{2}+1}，其中 x∈Rx \in \mathbb{R}。 画出 y = f(x) 的图像草图。 如果 f 的定义域限制为 x≤kx \le k…
  21. 21函数 ff 定义为 f:x↦e(x+c)2f : x \mapsto e^{(x+c)^2}，其中 x∈Rx \in \mathbb{R}，x≤kx \le k，c>0c>0。 用 cc 表示使反函数 f−1f^{-1} 存在的 kk 的最大值。 在问题的其余…
  22. 22函数 f 和 g 的定义为： f:x↦x2+2x+4,  x≤−1f : x \mapsto x^{2} + 2x + 4, \; x \le -1 以及 g:x↦ln⁡(2x−1),  x>12g : x \mapsto \ln(2x-1), \; x > \tfrac{1}{2}。 求 f−1(x)f^{-1}(x)…
  23. 23函数 f\mathrm{f} 和 g\mathrm{g} 定义为 f:x↦∣4+2x−x2∣, x∈R, x≥3.5,\mathrm{f} : x \mapsto \left| 4 + 2x - x^2 \right|, \ x \in \mathbb{R}, \ x \ge 3.5,…
  24. 24函数 f 和 g 的定义如下： f:x↦∣ex−3−1∣,x≤3f : x \mapsto |e^{x-3}-1|,\quad x \le 3 g:x↦a2−x2,x∈R,  x<0g : x \mapsto a^2 - x^2,\quad x \in \mathbb{R},\; x < 0，其中 0<a<10 < a < 1…
  25. 25函数 ff 的定义为 f:x↦2x−12x,0<x<2f: x \mapsto 2x - \dfrac{1}{2x},\quad 0 < x < 2。 已知 f−1f^{-1} 存在。 以类似的格式定义 f−1f^{-1}。 在同一坐标系中画出 y=f(x)y=f(x) 和 y=f−1(x)y=f^{-1}(x)…
  26. 26函数 f\mathrm{f} 和 g\mathrm{g} 定义为 f:x↦x2+2x+4,x≤−1andg:x↦ln⁡(2x−1),x>12.\mathrm{f} : x \mapsto x^2 + 2x + 4, \quad x \le -1 \quad \text{and} \quad \mathrm{g} : x \mapsto \ln(2x - 1), \quad x > \frac{1}{2}.…
  27. 27函数 f\text{f} 定义为 f:x↦2x2+5x−3,x∈R,x≤a.\text{f} : x \mapsto 2x^2 + 5x - 3, \quad x \in \mathbb{R}, \quad x \le a. 写出使得反函数 f−1\text{f}^{-1}…
  28. 28函数 f 和 g 的定义为： f:x↦∣4+2x−x2∣,  x∈R,  x≥3.5,f : x \mapsto |4+2x - x^{2}|, \; x \in \mathbb{R}, \; x \ge 3.5, g:x↦4+eax,  x∈R,  x≥−1,g : x \mapsto 4+e^{ax}, \; x \in \mathbb{R}, \; x \ge -1,…
  29. 29函数 ff 定义为 f:x↦6x−x2f : x \mapsto 6x - x^{2}。 在本题的后续部分中，假设 ff 的定义域为 [3,∞)[3,\infty)。 ff 的定义域由 [a,∞)[a, \infty) 给出。通过画出当 a=3a = 3 时 y=f(x)y = f(x)…
  30. 30函数 f 和 g 的定义如下： f:  x↦x2+2x+4,  x≤−1f:\; x \mapsto x^2 + 2x + 4,\; x \le -1 且 g:  x↦ln⁡(2x−1),  x>12g:\; x \mapsto \ln(2x-1),\; x > \tfrac{1}{2}。 求出 f−1(x)f^{-1}(x)…
  31. 31函数 f 定义为： f:x↦ex+12x+2对 x∈R, x≠−1.f : x \mapsto e^{x} + \dfrac{1}{2x+2}\quad\text{对 } x \in \mathbb{R},\ x \ne -1. 定义在 x∈R, x≥1x \in \mathbb{R},\ x \ge 1…
  32. 32函数 f\text{f} 的定义为 f(x)=(x+1)∣x+1∣,对于 x∈R,−4<x≤2.\text{f}(x) = (x+1)|x+1|, \quad \text{对于 } x \in \mathbb{R}, -4 < x \le 2. 求 f−1\text{f}^{-1}。 在同一…
  33. 33函数 f\mathrm{f} 由下式给出： f:x↦14−(2x+1)2,x∈R, x≤−12, x≠−32.\mathrm{f} : x \mapsto \frac{1}{4 - (2x + 1)^2}, \quad x \in \mathbb{R}, \ x \le -\frac{1}{2}, \ x \ne -\frac{3}{2}.…
  34. 34函数 f\mathrm{f} 和 g\mathrm{g} 的定义为 f:x↦x−1x,x<0,g:x↦sin⁡x,0≤x≤2π.\begin{aligned} \mathrm{f} &: x \mapsto x - \frac{1}{x}, \quad x < 0, \\ \mathrm{g} &: x \mapsto \sin x, \quad 0 \le x \le 2\pi. \end{aligned}…
  35. 35已知 f(x)=a−x21+x2f(x)=\dfrac{a-x^2}{1+x^2}，其中 aa 是一个实常数且 a≠−1a \ne -1。 求 aa 的取值范围，使得曲线 y=f(x)y=f(x) 具有极大值点。 已知 a>1a>1。 草拟 y=f(x)y=f(x) 的图像，并清…