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和的极限概念

定积分作为和的极限的概念。

这个知识点的练习题

1上图显示了对于 $x \\ge 0$ ， $y=f(x)$ 的函数图像草图。在 $1 \\le x \\le 3$ 范围内，曲线下方画有 $n$ 个宽度均为 $h$ 的矩形。每个矩形绕 x 轴旋转 $2\pi$ 弧度，都会得到一个圆柱形薄片。这…
2求 $\pi \int_{1}^{6} x^3 \text{ d}x$ 的准确值。图中给出了曲线 $y = x^{\frac{3}{2}}$ 的草图，其中 $x \ge 0$ 。曲线下方介于 $x = 1$ 和 $x = 6$ 之间的区域（…
3求 $\int \frac{x}{\sqrt{2x-1}}\,dx.$ 利用换元法 $t = \tan x$ ，求 $\int \frac{1}{4\cos^{2}x + 9\sin^{2}x}\,dx.$ 上图显示了曲线 $y = x^{2} + 3x$ …
4下图所示为 $y = \sqrt{x+40}$ 的图像。通过考虑阴影矩形，证明： $\sqrt{n+40} < \int_n^{n+1} \sqrt{x+40}\, dx.$ 由此推出： $\sqrt{1} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \dots + \sqrt{80} < \int_{-40}^{41} \sqrt{x+40}\, dx.$ …
5设 $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x+1}}$ 。证明 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)\,dx=\dfrac{2}{3}\bigl(2-\sqrt{2}\bigr)$ 。下图显示了方程为 $y=f(x)$ …
6上图展示了当 $x \ge 0$ 时 $y = \text{f}(x)$ 的函数图像简图。在曲线下方，在区间 $1 \le x \le 3$ 上画有 $n$ 个宽度均为 $h$ 的矩形。当每个矩形绕 $x$ 轴旋转 $2\pi$ 弧度时，将…
7上图显示了 $x\ge 0$ 时 $y=f(x)$ 的函数图像草图。在 $1\le x\le 3$ 范围内的曲线下方绘制了 $n$ 个宽度均为 $h$ 的矩形。当每个矩形绕 x 轴旋转 $2\pi$ 弧度时，将形成一个圆盘。这 $n$ 个圆…
8第一部分：纯粹数学 [40 分] 已知 f 是一个连续函数，请借助草图解释为什么以下极限的值： $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left\{ \mathrm{f}\left(\frac{n+1}{n}\right) + \mathrm{f}\left(\frac{n+2}{n}\right) + \dots + \mathrm{f}\left(\frac{2n}{n}\right) \right\}$ …