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一元二次方程的复根

一元二次方程的复数根。当判别式小于零时，实系数一元二次方程有一对共轭复数根。

这个知识点的练习题

  1. 1已知 z=2−iz = 2 - \text{i} 是方程 4z4−12z3+17z2+pz+q=04z^4 - 12z^3 + 17z^2 + pz + q = 0 的一个根，其中 pp 和 qq 是实数，求 pp 和 qq 的值。 利用所求得的 pp 和 qq 的值，…
  2. 2方程 2z4−14z3+33z2−26z+p=0, where p is a constant2z^4 - 14z^3 + 33z^2 - 26z + p = 0\text{, where } p \text{ is a constant} 的一个根是 3+i3 + \mathrm{i}。 仅根据上述信息，一名学生声称该…
  3. 3复数 zz 满足方程 f(z)=0\mathrm{f}(z) = 0，其中 f(z)=(1−ai)z2−2iz−10−20i\mathrm{f}(z) = (1 - a\mathrm{i})z^2 - 2\mathrm{i}z - 10 - 20\mathrm{i} 且 aa 是一个…
  4. 4方程 2z4−14z3+33z2−26z+p=0，其中 p 是常数2z^{4} - 14z^{3} + 33z^{2} - 26z + p = 0\text{，其中 } p \text{ 是常数} 的一个根为 3+i3 + \mathrm{i}。 仅根据上述信息，一名学生声称该方程有一个根为…
  5. 5函数 f\text{f} 的定义为 f(z)=z4+Az3+Bz2+Cz+45\text{f}(z) = z^4 + Az^3 + Bz^2 + Cz + 45，其中 AA、BB 和 CC 是实数。已知 2+i2 + \text{i} 是 f(z)=0\text{f}(z) = 0…
  6. 6解答本题时请勿使用计算器。 已知复数 z1z_1 和 z2z_2 是方程 z2−6z+36=0z^2 - 6z + 36 = 0 的根，且满足 arg⁡(z1)>arg⁡(z2)\arg(z_1) > \arg(z_2)。求 z1z_1 和 z2z_2 的精确表达式，表示为 reiθre^{i\theta}…
  7. 7已知 z1=−i2z_1 = -\frac{\text{i}}{2} 是方程 2z3+(i−8)z2+az+13i=02z^3 + (\text{i}-8)z^2 + az + 13\text{i} = 0 的一个根，求复数 aa 并解该方程，给出笛卡尔形式 x+iyx + \text{i}y…
  8. 8曲线 CC 的方程为 y=x2+4x+λ−5x+r,y = \frac{x^2 + 4x + \lambda - 5}{x + r}, 其中 λ\lambda 为非零常数，且有一条垂直渐近线 x=1x = 1。 写出 rr 的值并求出 CC 的另一条渐近线…
  9. 9复数 zz 随 tt 变化，满足 z=2cos⁡t+i(3sin⁡t),where 0≤t<2π.z = 2\cos t + \mathrm{i}(3\sin t), \quad \text{where } 0 \le t < 2\pi. 令 x=Re(z)x = \mathrm{Re}(z) 且 y=Im(z)y = \mathrm{Im}(z)…
  10. 10解方程 z5+16=163 iz^5 + 16 = 16\sqrt{3}\, i，将根表示为 reiθr e^{i\theta} 的形式，其中 r>0r>0 且 −π<θ≤π-\pi < \theta \le \pi。在阿根特图上表示这些根。 点 AA 和 BB 表示…
  11. 11解答本题时请勿使用图形计算器。 复数 ww 是方程 z4+az3+46z2+bz+125=0,z^4 + a z^3 + 46 z^2 + b z + 125 = 0 , 的一个根，其中 a,b∈Ra,b \in \mathbb{R}。 证明因式 z−wz - w 与 z−w∗z - w^*…
  12. 12曲线 CC 的方程为 y=3x2+ax+3x+1y = \frac{3x^2 + ax + 3}{x + 1}，其中 aa 是常数，a≠6a \ne 6。 求 aa 的取值范围，使得 CC 与 xx 轴不相交。 已知 CC 的方程为 y=3x2−6x+3x+1y = \frac{3x^2 - 6x + 3}{x + 1}…
  13. 13曲线的方程由下式给出： xy−2y2+4x2=66xy - 2y^{2} + 4x^{2} = 66。 求曲线上切线平行于 y 轴的点的精确坐标。 证明任何平行于 x 轴的直线都与该曲线交于两个不同的点。
  14. 14函数 y=ax2+bx+cx+dy = \frac{ax^2 + bx + c}{x+d} 的图像有一条方程为 x=−1x = -1 的垂直渐近线和一条方程为 y=2x+2y = 2x + 2 的斜渐近线。已知 c≠2c \ne 2。 写出 dd 的值，并证明 a=2a = 2…
  15. 15定义：我们把形如a+bi(a,ba+bi(a,b为实数))的数称为复数，其中aa叫这个复数的实部，bb叫做这个复数的虚部，ii叫做虚数单位，且i2=−1.i^{2}=-1.复数的加法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类…
  16. 16方程 2z4−14z3+33z2−26z+p=0,2z^{4} - 14z^{3} + 33z^{2} - 26z + p = 0, 其中 pp 为常数，有一个根为 3+i3 + i。 仅根据上述信息，一名学生声称该方程有一个根为 3−i3 - i。请说明理由，解释为什么该学生…
  17. 17三次方程 x3+ax2+bx+c=0x^3 + ax^2 + bx + c = 0（其中 aa, bb 和 cc 是常数）有根 3+i3 + \mathrm{i} 和 22。 一位 JC2 学生说第三个根是 3−i3 - \mathrm{i}。指出该学生为了…
  18. 18复数 zz 满足 az2+bz+a=0az^2 + bz + a = 0，其中 aa 和 bb 是实常数。已知 z=z0z = z_0 是该方程的一个解，其中 Im(z0)≠0\mathrm{Im}(z_0) \ne 0。 在接下来的问题中，取 Im(z0)=12\mathrm{Im}(z_0)=\frac{1}{2}…
  19. 19方程 x3−1=0x^3 - 1 = 0 的三个不同的根记为 1,ω1, \omega 和 ω2\omega^2。 在不先显式求出 ω\omega 的情况下，证明 1+ω+ω2=01 + \omega + \omega^2 = 0。 现在已知 0<arg⁡(ω)<π0 < \arg(\omega) < \pi…
  20. 20求下列二次表达式的判别式。 x2+x+1x^2 + x + 1 x2+4x−5x^2 + 4x - 5 −x2+x−1-x^2 + x - 1 −2x2−4x+3-2x^2 - 4x + 3 x22+x−59\frac{x^2}{2} + x - \frac{5}{9} −x2+x3+6-x^2 + \frac{x}{3} + 6…
  21. 21复数 zz 随 tt 变化，满足： z=2cos⁡t+i(3sin⁡t),其中 0≤t<2π.z = 2\cos t + i(3\sin t),\quad \text{其中 } 0 \le t < 2\pi. 令 x=Re⁡(z)x = \operatorname{Re}(z) 且 y=Im⁡(z)y = \operatorname{Im}(z)…
  22. 22曲线 CC 的方程为 y=ax2−2ax+a−2x−2,a∈R, a≠0.y=\frac{ax^2-2ax+a-2}{x-2},\quad a\in\mathbb{R},\ a\ne 0. 求 dydx\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}。 求使得 CC…
  23. 23[剑桥/9794/2010年样卷] 求方程 x2−6x+13=0x^2 - 6x + 13 = 0 的根 pp 和 qq。如果 pp 是其辐角为锐角的根，求一个以 ipip 和 −iq-iq 为根的方程。
  24. 24方程 z4−4z3+az2+bz+78=0z^4-4z^3+az^2+bz+78=0 的一个根为 3+2i3+2i，其中 aa 和 bb 为实数。求 aa 和 bb 的值。由此求方程的其他根，并给出其精确形式。
  25. 25求形式为 x+iyx+iy 的复数 zz，其中 x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}，满足 3izz∗−1+2i=−i\dfrac{3i z}{z^{*}-1+2i} = -i。[注：z∗z^{*} 表示 zz 的共轭复数。] 方程 z2+z+p=0z^{2}+z+p=0…
  26. 26方程 z3+az2+bz+c=0z^3 + az^2 + bz + c = 0 的其中两个根为 3ei(−23π)3\text{e}^{\text{i}\left(-\frac{2}{3}\pi\right)} 和 −2-2。 已知 aa、bb 和 cc 是整数常数，求…
  27. 27多项式 P(z)\text{P}(z) 由 z3−8z+az^3 - 8z + a 给出，其中 aa 是一个实常数。已知 3+i\sqrt{3} + \text{i} 是方程 P(z)=0\text{P}(z) = 0 的一个根，求方程 P(z)=0\text{P}(z) = 0…
  28. 28复数 z 随 t 变化，满足 z=2cos⁡t+i(3sin⁡t),其中 0≤t<2π.z = 2\cos t + i(3\sin t),\quad\text{其中 } 0 \le t < 2\pi. 令 x=Re(z)x = \mathrm{Re}(z) 且 y=Im(z)y = \mathrm{Im}(z)…
  29. 29函数 f 的定义为 f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=ax^3+bx^2+cx+d，其中 a,b,ca,b,c 和 dd 是实数。 已知 1−2i1-2i 和 −1-1 是 f(x)=0f(x)=0 的根，用 aa 表示 bb、cc 和 dd。 若改为已知 a=2a = 2…
  30. 30曲线 CC 的方程为 y=x2−3x+31−xy = \dfrac{x^{2}-3x+3}{1-x}。 画出 CC 的草图，指出任何极值点以及与坐标轴交点的坐标，并写出所有渐近线的方程。 确定 kk 的确切值集合，使得对于所有实数 xx， CC 与直…
  31. 31已知方程 z4−kz2+k3z−k4=0z^{4}-kz^{2}+k^{3}z-k^{4}=0 的两个根为 z1=kz_{1}=k 和 z2=−kz_{2}=-k，其中 kk 是一个正实数。另外两个根记为 z3z_{3} 和 z4z_{4}，其中 Im(z3)>0\mathrm{Im}(z_{3})>0…
  32. 32已知方程 z4−z3−9z2+sz+t=0z^4 - z^3 - 9z^2 + sz + t = 0 的一个根是 1+2i1 + 2\text{i}，其中 ss 和 tt 为实数。求该方程的其他根以及 ss 和 tt 的值。 设复数 w=a+ibw = a + \text{i}b…