(1)已知线段$a$、$b$、$c$满足$a$：$b$：$c=3$：$2$：$6$，且$a+2b+c=26$． $①$求$a$、$b$、$c$的值； $②$若线段$x$是线段$a$、$b$的比例中项，求$x$的值． (2)已知$xyz\neq 0$且$\dfrac{x+y}{z}= \dfrac{z+x}{y}= \dfrac{y+z}{x}=k$，求$k$的值.及函数$y=kx+3k$的图像与直角坐标系$X$轴$Y$轴围成的面积

1. 通过比值引入未知数 $t$ 表示各线段长

设比值常数为 $t$ ($t > 0$)，根据比例关系 $a:b:c=3:2:6$，可设：
$a=3t$, $b=2t$, $c=6t$

2. 列出一元一次方程并求解 $t$

将表示出的 $a, b, c$ 代入已知等式 $a+2b+c=26$ 得：
$3t + 2(2t) + 6t = 26$
$3t + 4t + 6t = 26$
$13t = 26$
解得 $t = 2$

3. 求出 $a, b, c$ 的具体值

将 $t=2$ 代入得：
$a = 3 \times 2 = 6$
$b = 2 \times 2 = 4$
$c = 6 \times 2 = 12$

1. 利用比例中项的定义列出方程

因为线段 $x$ 是线段 $a$ 和 $b$ 的比例中项，根据比例中项定义：
$\frac{x}{a} = \frac{b}{x} \implies x^2 = ab$
代入第一问中求出的 $a=6, b=4$ 得：
$x^2 = 6 \times 4 = 24$

2. 求解并舍去不符合实际意义的负根

解方程 $x^2 = 24$ 得：
$x = \pm 2\sqrt{6}$
由于 $x$ 表示线段长度，必须大于 0，因此舍去负值 $x = -2\sqrt{6}$。
所以 $x = 2\sqrt{6}$。

1. 讨论分母之和不为0的情形并求 $k$

当 $x+y+z \neq 0$ 时，根据等比性质：
$k = \frac{(x+y)+(z+x)+(y+z)}{z+y+x} = \frac{2(x+y+z)}{x+y+z} = 2$

2. 计算 $k=2$ 时一次函数与坐标轴围成的面积

当 $k = 2$ 时，一次函数解析式为 $y = 2x + 6$。
该直线与 $x$ 轴交点为 $(-3, 0)$，与 $y$ 轴交点为 $(0, 6)$。
其与坐标轴围成的三角形面积为：
$S_1 = \frac{1}{2} \times |-3| \times |6| = 9$

3. 讨论分母之和等于0的情形并求 $k$

当 $x+y+z = 0$ 时，有 $x+y = -z$。
代入原式得：
$k = \frac{x+y}{z} = \frac{-z}{z} = -1$

4. 计算 $k=-1$ 时一次函数与坐标轴围成的面积

当 $k = -1$ 时，一次函数解析式为 $y = -x - 3$。
该直线与 $x$ 轴交点为 $(-3, 0)$，与 $y$ 轴交点为 $(0, -3)$。
其与坐标轴围成的三角形面积为：
$S_2 = \frac{1}{2} \times |-3| \times |-3| = 4.5$