Anil and Babs are playing a game in which they take turns to throw a fair six-sided die. The winner is the first player to throw the same number as the other player has thrown immediately before. Anil throws first.

1. 分析每轮掷骰子获胜与继续的概率

游戏从第 $2$ 次掷骰子开始，每次掷骰子的玩家若掷出与前一人相同的点数即获胜，其概率为 $\frac{1}{6}$；若不同则游戏继续，概率为 $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$。
第 $1$ 次掷骰子由 Anil 进行，此时无人掷过，无法获胜。

2. 列出 Anil 获胜的概率表达式并求和

Anil 只能在第 $3, 5, 7, \dots, 2k+1$ 次掷骰子时获胜：

• 第 $3$ 次获胜（Anil 的第 $2$ 次投掷）：$\frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$
• 第 $5$ 次获胜（Anil 的第 $3$ 次投掷）：$\left(\frac{5}{6}\right)^3 \times \frac{1}{6}$
• 第 $2k+1$ 次获胜：$\left(\frac{5}{6}\right)^{2k-1} \times \frac{1}{6}$

Anil 获胜的总概率为首项 $a = \frac{5}{36}$，公比 $r = \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36}$ 的无穷等比级数之和：
$P(\text{Anil 获胜}) = \frac{a}{1 - r} = \frac{\frac{5}{36}}{1 - \frac{25}{36}} = \frac{\frac{5}{36}}{\frac{11}{36}} = \frac{5}{11}$

1. 求出 Babs 获胜的总概率

因为博弈以概率 $1$ 结束，且获胜者非 Anil 即 Babs，所以：
$P(\text{Babs 获胜}) = 1 - P(\text{Anil 获胜}) = 1 - \frac{5}{11} = \frac{6}{11}$

2. 计算 Babs 在其第 2 次投掷获胜的概率

Babs 的第 $2$ 次投掷是整场游戏的第 $4$ 次投掷。前 $3$ 次均未结束游戏，且第 $4$ 次与第 $3$ 次点数相同：
$P(\text{Babs 在第 2 次投掷获胜}) = \left(\frac{5}{6}\right)^3 \times \frac{1}{6} = \frac{125}{1296}$

3. 利用条件概率公式计算最终概率

由条件概率公式：
$P(\text{Babs 在第 2 次投掷获胜} \mid \text{Babs 获胜}) = \frac{P(\text{Babs 在第 2 次投掷获胜})}{P(\text{Babs 获胜})} = \frac{\frac{125}{1296}}{\frac{6}{11}} = \frac{125}{1296} \times \frac{11}{6} = \frac{275}{1296}$