一项工作，甲做3天、乙做4天可以完成总数的 $\frac{1}{3}$；甲做5天、乙做3天也可以完成总数的 $\frac{1}{3}$，那么甲、乙合做这项工程共需 ___ 天完成．

1. 设未知数并根据题意列出方程组

设工作总量为 $1$，甲每天完成的工作量（工作效率）为 $x$，乙每天完成的工作量（工作效率）为 $y$。
根据题意可列出方程组：
$\begin{cases} 3x + 4y = \dfrac{1}{3} & \text{①} \\[6pt] 5x + 3y = \dfrac{1}{3} & \text{②} \end{cases}$

2. 解方程组求出甲、乙的效率关系及各自的效率

由 ① 式与 ② 式可知：
$3x + 4y = 5x + 3y$
移项整理得：
$y = 2x$
将 $y = 2x$ 代入 ① 式：
$3x + 4(2x) = \frac{1}{3} \implies 11x = \frac{1}{3} \implies x = \frac{1}{33}$
从而得到：
$y = 2 \times \frac{1}{33} = \frac{2}{33}$

3. 计算甲乙合作的效率之和并求出所需天数

甲、乙合做一天的工作效率之和为：
$x + y = \frac{1}{33} + \frac{2}{33} = \frac{3}{33} = \frac{1}{11}$
因此，合做这项工程所需的天数为：
$1 \div (x + y) = 1 \div \frac{1}{11} = 11\text{（天）}$