在函数$Y= \dfrac{ \sqrt{x+3}}{2x}$中，自变量$x$的取值范围是 $()$

A. $x\geqslant -3$

B. $x\neq 0$

C. $x > -3$且 $x\neq 0$

D. $x\geqslant -3$且 $x\neq 0$

1. 根据函数解析式列出使函数有意义的条件

要使函数 $Y= \dfrac{ \sqrt{x+3}}{2x}$ 有意义，自变量需同时满足两个条件：

1. 二次根式的被开方数非负：$x+3\geqslant 0$
2. 分式的分母不能为零：$2x\neq 0$

2. 解不等式（组），求得自变量的取值范围

由 $x+3\geqslant 0$ 解得 $x\geqslant -3$；
由 $2x\neq 0$ 解得 $x\neq 0$．
综合以上，自变量 $x$ 的取值范围是 $x\geqslant -3$ 且 $x\neq 0$．
因此正确答案为 D．