【能4】一共有五个小队，某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小队合干需要9天才能完成；如果由第二、四、五小队合干需要8天才能完成；如果由第一、三、四小队合干需要18天才能完成. 那么这五个小队一起合干需要___天才能完成这项工程.

1. 设工程总量为1，将条件转化为工作效率方程

设工程总量为 $1$，五个小队的工作效率分别为 $v_1, v_2, v_3, v_4, v_5$。
根据题意可列出方程组：
① $v_1 + v_2 + v_3 = \dfrac{1}{12}$
② $v_1 + v_3 + v_5 = \dfrac{1}{9}$
③ $v_2 + v_4 + v_5 = \dfrac{1}{8}$
④ $v_1 + v_3 + v_4 = \dfrac{1}{18}$

2. 观察方程特征，设整体未知量并求出第一、三小队的效率和

观察方程 ①、②、④，均含有组合 $(v_1 + v_3)$，设 $x = v_1 + v_3$。
由方程 ① 得：$v_2 = \dfrac{1}{12} - x$
由方程 ② 得：$v_5 = \dfrac{1}{9} - x$
由方程 ④ 得：$v_4 = \dfrac{1}{18} - x$

将 $v_2, v_4, v_5$ 代入方程 ③：
$\left(\dfrac{1}{12} - x\right) + \left(\dfrac{1}{18} - x\right) + \left(\dfrac{1}{9} - x\right) = \dfrac{1}{8}$
$\left(\dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{18} + \dfrac{1}{9}\right) - 3x = \dfrac{1}{8}$
$\dfrac{3 + 2 + 4}{36} - 3x = \dfrac{1}{8}$
$\dfrac{1}{4} - 3x = \dfrac{1}{8}$
$3x = \dfrac{1}{8} \implies x = \dfrac{1}{24}$
即 $v_1 + v_3 = \dfrac{1}{24}$。

3. 求出五个小队合干的总效率及所需天数

五个小队一起合干的总效率为：
$V = v_1 + v_2 + v_3 + v_4 + v_5 = (v_1 + v_3) + (v_2 + v_4 + v_5)$
将 $v_1 + v_3 = \dfrac{1}{24}$ 及方程 ③ 中的 $v_2 + v_4 + v_5 = \dfrac{1}{8}$ 代入得：
$V = \dfrac{1}{24} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{24} + \dfrac{3}{24} = \dfrac{4}{24} = \dfrac{1}{6}$

所以五个小队合干需要的时间为：
$1 \div \dfrac{1}{6} = 6 \text{（天）}$