The figure is made up of a semicircle and a right-angled triangle. Given that the diameter of the semicircle is $42\text{ cm}$ and the difference in area of region A and region B is $357\text{ cm}^2$, find the height of the triangle. (Take $\pi = \frac{22}{7}$.)

1. 计算半圆的面积

半圆的半径 $r = \dfrac{42}{2} = 21\text{ cm}$。

根据圆的面积公式，半圆的面积为：
$\text{S}_{\text{半圆}} = \frac{1}{2} \times \pi \times r^2 = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 693\text{ cm}^2$

2. 借助重叠公共区域求出直角三角形的面积

设半圆与直角三角形重叠的公共部分面积为 $C$。
则半圆面积为 $A + C = 693\text{ cm}^2$，三角形面积为 $B + C$。

由于半圆面积与三角形面积之差等于区域 A 与区域 B 的面积之差：
$(A + C) - (B + C) = A - B = 357\text{ cm}^2$

因此，直角三角形的面积为：
$\text{S}_{\text{三角形}} = 693 - 357 = 336\text{ cm}^2$

3. 利用三角形面积公式计算三角形的高

直角三角形的底等于半圆的直径，即 $b = 42\text{ cm}$。
设三角形的高为 $h\text{ cm}$。
根据三角形面积公式：
$\frac{1}{2} \times 42 \times h = 336$
$21h = 336$
$h = 16$

所以直角三角形的高为 $16\text{ cm}$。