在一个 $8 \times 8$ 的正方形网格棋盘上放置一些硬币，每个网格最多放置 1 枚，若任意 $3 \times 1$ 或 $1 \times 3$ 的矩形区域内都至少包含一枚硬币，则棋盘上最少需要放置 ___ 枚硬币。

1. 用不相交矩形划分求出最少硬币数的下界

棋盘共有 $8 \times 8 = 64$ 个方格。每一个横向 $1 \times 3$ 或纵向 $3 \times 1$ 的矩形区域内都至少需要放置 1 枚硬币。
每个这样的矩形占 3 个方格，由于 $\lfloor 64 \div 3 \rfloor = 21$，在棋盘上至多可以放置 21 个两两互不相交的 $1 \times 3$ 或 $3 \times 1$ 矩形（共占 63 格，剩余 1 格未覆盖）。
因为这 21 个矩形两两没有重叠，且每个矩形内部都必须至少包含 1 枚硬币，所以棋盘上至少需要放置 21 枚硬币。

2. 构造出放置 21 枚硬币的有效方案

建立网格平面坐标系，设每个方格的位置为 $(x, y)$，其中 $x, y \in \{1, 2, \dots, 8\}$。
对于任意一个横向 $1 \times 3$ 矩形，其三个连续方格为 $(x, y), (x+1, y), (x+2, y)$，坐标和分别为 $x+y, x+y+1, x+y+2$，除以 3 的余数恰好为 0、1、2 各一个；同理，纵向 $3 \times 1$ 矩形的三个方格的坐标和除以 3 的余数也恰好为 0、1、2 各一个。
因此，只要在所有满足 $x + y \equiv 1 \pmod 3$ 的方格上各放置 1 枚硬币，任意 $1 \times 3$ 或 $3 \times 1$ 矩形内就必然恰好包含 1 枚硬币。
统计满足 $x + y \equiv 1 \pmod 3$ 的方格个数：

• 当 $x \equiv 1 \pmod 3$（$x=1, 4, 7$，共 3 个）时，$y \equiv 0 \pmod 3$（$y=3, 6$，共 2 个），有 $3 \times 2 = 6$ 个；
• 当 $x \equiv 0 \pmod 3$（$x=3, 6$，共 2 个）时，$y \equiv 1 \pmod 3$（$y=1, 4, 7$，共 3 个），有 $2 \times 3 = 6$ 个；
• 当 $x \equiv 2 \pmod 3$（$x=2, 5, 8$，共 3 个）时，$y \equiv 2 \pmod 3$（$y=2, 5, 8$，共 3 个），有 $3 \times 3 = 9$ 个。
  方格总数为 $6 + 6 + 9 = 21$ 个。这说明放置 21 枚硬币即可满足条件。

3. 综合上下界得出结论

由下界分析可知硬币数至少为 21，且存在恰好放置 21 枚硬币的有效方案，故最少需要放置 21 枚硬币。