设函数f（x）（x∈N）表示x除以3的余数，对x，y∈N都有（ ）

A. f（x+3）=f（x）

B. f（x+y）=f（x）+f（y）

C. 3f（x）=f（3x）

D. f（x）f（y）=f（xy）

1. 分析选项A的正确性

根据题意，函数 $f(x)$ 表示 $x$ 除以 3 的余数。对任意 $x \in \mathbb{N}$，设 $x = 3k + r$，其中 $k \in \mathbb{N}$，且余数 $r \in \{0, 1, 2\}$，则有 $f(x) = r$。
因此，$x + 3 = 3(k+1) + r$，显然 $x+3$ 除以 3 的余数也是 $r$，即 $f(x+3) = r$。
所以 $f(x+3) = f(x)$ 恒成立，选项A正确。

2. 利用特值（反例）排除选项B、C、D

对于选项B：令 $x = 1, y = 2$，则 $f(x+y) = f(3) = 0$，而 $f(x) + f(y) = f(1) + f(2) = 1 + 2 = 3$，因为 $0 \neq 3$，所以B错误；
对于选项C：令 $x = 1$，则 $f(3x) = f(3) = 0$，而 $3f(x) = 3f(1) = 3 \times 1 = 3$，因为 $0 \neq 3$，所以C错误；
对于选项D：令 $x = 2, y = 2$，则 $f(xy) = f(4) = 1$，而 $f(x)f(y) = f(2)f(2) = 2 \times 2 = 4$，因为 $1 \neq 4$，所以D错误。

综上所述，正确选项为A。