求极限 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$ 的值。

1. 将原极限表达式变形，构造出重要极限的标准形式

将分子与分母同时调整，使得正弦函数的自变量与分母保持一致：
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0} \left( 3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x} \right)$

2. 利用重要极限求出最终极限值

设 $u = 3x$，当 $x \to 0$ 时，$u \to 0$。
根据重要极限 $\displaystyle\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$，可得：
$3 \cdot \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 3 \times 1 = 3$