Without using a calculator, solve the inequality $\frac{4}{x+2} \ge \frac{x-3}{x}$.
(b) Hence, solve the inequality $\frac{4}{|x|+2} \ge \frac{|x|-3}{|x|}$.

1. 将不等式移项并通分化为单分式形式

移项得：
$\frac{4}{x+2} - \frac{x-3}{x} \ge 0$
通分化简分子：
$\frac{4x - (x-3)(x+2)}{x(x+2)} \ge 0$
$\frac{4x - (x^2 - x - 6)}{x(x+2)} \ge 0$
$\frac{-x^2 + 5x + 6}{x(x+2)} \ge 0$
两边同乘 $-1$（注意不等号方向反转）：
$\frac{x^2 - 5x - 6}{x(x+2)} \le 0$

2. 对分子因式分解并利用数轴或符号法则求出解集

分子因式分解得：
$\frac{(x-6)(x+1)}{x(x+2)} \le 0$
其中分母不能为零，即 $x \ne -2$ 且 $x \ne 0$。
临界值按从小到大排列为：$-2, -1, 0, 6$。
考查各区间的符号：

• 当 $x < -2$ 时，代数式为正；
• 当 $-2 < x \le -1$ 时，代数式为负或零，满足条件；
• 当 $-1 < x < 0$ 时，代数式为正；
• 当 $0 < x \le 6$ 时，代数式为负或零，满足条件；
• 当 $x > 6$ 时，代数式为正。

因此解集为 $-2 < x \le -1$ 或 $0 < x \le 6$。

1. 用 $|x|$ 替换 (a) 中的未知数 $x$，列出对应条件并求解

对比题 (a) 与题 (b)，将 $x$ 替换为 $|x|$，由 (a) 的结果可得：
$-2 < |x| \le -1 \quad \text{或} \quad 0 < |x| \le 6$
对于第一种情况：
因为对任意实数 $x$，都有 $|x| \ge 0$，所以 $|x| \le -1$ 无解。

对于第二种情况：
$0 < |x| \le 6$
由 $|x| > 0$ 得 $x \ne 0$；
由 $|x| \le 6$ 得 $-6 \le x \le 6$。

综合得解为 $-6 \le x < 0$ 或 $0 < x \le 6$（或记为 $-6 \le x \le 6,\ x \ne 0$）。