求极限 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$ 的值。

1. 对式子进行恒等变形，凑出标准极限形式

将分子分母同乘以 $3$，将原极限变形为：
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0} 3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x}$

2. 代入重要极限公式求出最终极限值

令 $u = 3x$，当 $x \to 0$ 时，$u \to 0$。
根据重要极限 $\displaystyle\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$，可得：
$\lim_{x \to 0} 3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x} = 3 \cdot 1 = 3$