设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$，求 $A$ 的行列式 $|A|$ 和逆矩阵 $A^{-1}$。

1. 计算矩阵 $A$ 的行列式 $|A|$

根据二阶矩阵行列式的计算公式 $|A| = ad - bc$：
$|A| = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2$

2. 利用逆矩阵公式求 $A^{-1}$

对于二阶矩阵 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，其逆矩阵公式为：
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
将 $|A| = -2$ 及 $a=1, b=2, c=3, d=4$ 代入公式得：
$A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \dfrac{3}{2} & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$