从$1～20$这$20$个数字中任取$2$个不同的数，使它们的和为奇数，有多少种不同的选法？

1. 分析奇偶性条件与数字分布

在 $1 \sim 20$ 这 $20$ 个连续自然数中：

• 奇数有 $10$ 个（$1, 3, 5, \dots, 19$）；
• 偶数有 $10$ 个（$2, 4, 6, \dots, 20$）。

要使取出的 $2$ 个不同数字之和为奇数，根据数的奇偶性加法法则：
$\text{奇数} + \text{偶数} = \text{奇数}$
因此，必须从 $10$ 个奇数中选出 $1$ 个，同时从 $10$ 个偶数中选出 $1$ 个。

2. 运用乘法原理计算总选法

选数过程分为两步：

• 第一步，从 $10$ 个奇数中任选 $1$ 个，有 $10$ 种选法；
• 第二步，从 $10$ 个偶数中任选 $1$ 个，有 $10$ 种选法。

根据乘法原理，共有：
$10 \times 10 = 100 \text{ 种}$