在式子$\dfrac{\sqrt{1-3x}}{2x}$中，自变量 $x$ 的取值范围是$()$

A. $x\leqslant \dfrac{1}{3}$

B. $x\neq 0$

C. $x\leqslant \dfrac{1}{3}$且 $x\neq 0$

D. $x < \dfrac{1}{3}$且 $x\neq 0$

1. 根据代数式有意义的条件列出不等式组

要使式子 $\dfrac{\sqrt{1-3x}}{2x}$ 有意义，必须满足以下两个条件：

1. 二次根式下的被开方数非负，即 $1-3x \geqslant 0$；
2. 分式的分母不为 $0$，即 $2x \neq 0$。

因此，可列出不等式组：
$\begin{cases} 1-3x \geqslant 0 \\ 2x \neq 0 \end{cases}$

2. 求解不等式组，确定自变量的取值范围

解不等式 $1-3x \geqslant 0$：
移项得 $-3x \geqslant -1$，
系数化为 $1$ 得 $x \leqslant \dfrac{1}{3}$。

解不等式 $2x \neq 0$：
得 $x \neq 0$。

综上所述，自变量 $x$ 的取值范围是 $x \leqslant \dfrac{1}{3}$ 且 $x \neq 0$。

故选：C。