甲种酒精的纯酒精含量为72%，乙种酒精的纯酒精含量为58%，两种酒精各取出一些混合后纯酒精的含量为62%．如果两种酒精所取的数量都比原来多15升，混合后纯酒精的含量就为63.25%．求第一次混合时，甲、乙两种酒精各取了多少升？

1. 求第一次混合时甲、乙两种酒精的体积比

根据第一次混合后纯酒精含量为 $62\%$，利用十字交叉法或浓度配比原理，求得甲、乙两种酒精的体积比为：
$(62\% - 58\%) : (72\% - 62\%) = 4\% : 10\% = 2 : 5$

2. 求第二次混合时甲、乙两种酒精的体积比

同样地，根据第二次混合后纯酒精含量为 $63.25\%$，求得此时甲、乙两种酒精的体积比为：
$(63.25\% - 58\%) : (72\% - 63.25\%) = 5.25\% : 8.75\% = 3 : 5$

3. 设未知数并建立比例方程

设第一次混合时，甲、乙两种酒精分别取了 $2x$ 升和 $5x$ 升。
依题意，当两种酒精各多取 $15$ 升时，它们的体积比变为 $3 : 5$，可列出方程：
$\frac{2x + 15}{5x + 15} = \frac{3}{5}$

4. 求解方程并得出甲、乙酒精的体积

利用比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积：
$5(2x + 15) = 3(5x + 15)$
$10x + 75 = 15x + 45$
$15x - 10x = 75 - 45$
$5x = 30$
$x = 6$

所以第一次混合时：
甲种酒精取了 $2x = 2 \times 6 = 12$ 升；
乙种酒精取了 $5x = 5 \times 6 = 30$ 升。