A geometric series has first term $a$ and common ratio $r$, where $r < 0$. The sum to infinity of the series is $18$ and its third term is $\frac{8}{3}$.

1. 根据无穷等比级数的和与第3项列出方程

由题意，无穷等比级数的和为：
$S_\infty = \frac{a}{1 - r} = 18 \implies a = 18(1 - r)$
等比数列的第 $3$ 项为：
$u_3 = ar^2 = \frac{8}{3}$

2. 消去 $a$ 并整理得到目标方程

将 $a = 18(1 - r)$ 代入 $u_3$ 的表达式中：
$18(1 - r)r^2 = \frac{8}{3}$
展开并化简：
$18r^2 - 18r^3 = \frac{8}{3}$
两边同乘以 $3$：
$54r^2 - 54r^3 = 8$
两边同除以 $2$ 并移项：
$27r^3 - 27r^2 + 4 = 0$

1. 解关于 $r$ 的三次方程并筛选出符合条件的 $r$

设 $\mathrm{f}(r) = 27r^3 - 27r^2 + 4$。
尝试有理根，当 $r = -\frac{1}{3}$ 时：
$\mathrm{f}\left(-\frac{1}{3}\right) = 27\left(-\frac{1}{27}\right) - 27\left(\frac{1}{9}\right) + 4 = -1 - 3 + 4 = 0$
因此 $(3r + 1)$ 是 $\mathrm{f}(r)$ 的一个因式。
通过多项式除法进行因式分解：
$27r^3 - 27r^2 + 4 = (3r + 1)(9r^2 - 12r + 4) = (3r + 1)(3r - 2)^2 = 0$
解得 $r = -\frac{1}{3}$ 或 $r = \frac{2}{3}$。
由于题中给出 $r < 0$，故舍去 $r = \frac{2}{3}$，取 $r = -\frac{1}{3}$。

2. 求首项 $a$ 的值

将 $r = -\frac{1}{3}$ 代回 $a = 18(1 - r)$：
$a = 18\left(1 - \left(-\frac{1}{3}\right)\right) = 18 \times \frac{4}{3} = 24$

1. 用前 $k$ 项和 $S_k$ 与无穷和 $S_\infty$ 表示已知等式

记等比级数的前 $k$ 项和为 $S_k = \sum_{r=1}^{k} u_r$。
则从第 $k+1$ 项到无穷项的和为：
$\sum_{r=k+1}^{\infty} u_r = S_\infty - S_k$
代入已知等式 $80 \sum_{r=k+1}^{\infty} u_r = \sum_{r=1}^{k} u_r$：
$80(S_\infty - S_k) = S_k \implies 80 S_\infty = 81 S_k$

2. 代入求和公式化简求出 $r^k$

已知 $S_k = \frac{a(1 - r^k)}{1 - r} = S_\infty (1 - r^k)$，代入上式得：
$80 S_\infty = 81 S_\infty (1 - r^k)$
两边同除以 $S_\infty$（$S_\infty = 18 \neq 0$）：
$80 = 81(1 - r^k) \implies 81r^k = 1 \implies r^k = \frac{1}{81}$

3. 代入 $r$ 的值求解正整数 $k$

由 (b) 问可知 $r = -\frac{1}{3}$，因此：
$\left(-\frac{1}{3}\right)^k = \frac{1}{81} = \left(-\frac{1}{3}\right)^4$
由于底数相同且均为 $-\frac{1}{3}$，可得：
$k = 4$